1 极大线性无关组和向量组的秩

向量组的相互表示

一个向量组 $(\mathbf{I})$ 中所有的向量都能被另一个向量组 $(\mathbf{I}\mathbf{I})$ 表示，则称 $(\mathbf{I})$ 能被 $(\mathbf{I}\mathbf{I})$ 线性表示
如果 $(\mathbf{I}),(\mathbf{I}\mathbf{I})$ 能够相互表示，则称为等价

• 区分向量组等价和矩阵等价
• 向量组等价的要求：
  • $r(\mathbf{I})=r(\mathbf{I}\mathbf{I})$，且 $(\mathbf{I})$ 能被 $(\mathbf{I}\mathbf{I})$ 线性表示
  • 或 $r(\mathbf{I})=r(\mathbf{I}\mathbf{I})=r(\mathbf{I},\mathbf{I}\mathbf{I})$
  • 只有秩相等，不能得出等价

极大无关组和秩

• 极大线性无关组： $(\mathbf{I})$ 中的一个线性无关的子向量组，可以表示 $(\mathbf{I})$ 中的任何向量
• 向量组的秩：极大无关组中向量的个数 $k$，记作 $r(\mathbf{I})=k$ 或 $R(\mathbf{I})=k$
• 一个向量组的极大无关组可能不唯一，但是秩是唯一的

求极大无关组和秩

1. 做行变换化为阶梯形，有几级阶梯，秩就是几（可以在同级的元素下方画横线做标记）
2. 在每条横线上分别取 1 个向量，得到子向量组就是极大无关组

2 重要定理

1. 设向量组 $(\mathbf{I})$ 的向量个数为 $n$
   • $r(\mathbf{I})=n\iff$ 向量组 $(\mathbf{I})$ 线性无关
   • $r(\mathbf{I})<n\iff$ 向量组 $(\mathbf{I})$ 线性相关

2. 向量组 $(\mathbf{I}):{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的秩 $r(\mathbf{I})=k$，若有一个同维向量 $\beta$，则
   • 秩不变： $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,\beta )=k\iff \beta$ 可被 $(\mathbf{I})$ 线性表示
   • 秩+1： $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,\beta )=k+1\iff \beta$ 不能被 $(\mathbf{I})$ 线性表示

5. 任意 $m$ 维向量组的秩 $r(\mathbf{I})\le m$，即 ** $m$ 维空间秩为 $m$ **
   • 向量个数大于维数 $(n>m)$ 时，向量组 $(\mathbf{I})$ 线性相关
   • $m$ 维向量组 $(\mathbf{I})$ 秩为 $m$ 时，它能表示任意 $m$ 维向量 —— 超绝概念
   • $m$ 维线性相关的向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 中任意 $m$ 个线性无关的向量，一定是一个极大无关组