无穷小与无穷大

#笔记 #高数

1 无穷小

无穷小的比较

高阶： $lim \frac{β (x)}{α (x)} = 0$ ，记作 $β (x) = o (α (x))$ —— $β (x)$ 收敛到 0 的速度比较快
同阶： $lim \frac{β (x)}{α (x)} = C \neq 0$
等价： $lim \frac{β (x)}{α (x)} = 1$ ，记作 $β (x) \sim α (x)$
无穷小的阶数： $lim \frac{β (x)}{[α (x)]^{k}} = C \neq 0$ ，则 $β (x)$ 是 $α (x)$ 的 $k$ 阶无穷小

运算性质

有限个无穷小的和还是无穷小
有限个无穷小的积还是无穷小
无穷小量和有界量的积是无穷小，经典例子：$$
\lim_{x \to 0} x\sin\frac 1 x = 0

## 极限值和无穷小的关系连续性与间断点#1 连续性--- # 2 无穷大 ## 与无界变量的关系 **无穷大量一定是无界变量，氮素无界变量不一定是无穷大** - 无穷大——都很大：$1,2,3,\cdots$ - 无界变量——有很大，剩下的可以很小：$1,0,3,\cdots$ ## 与无穷小量的关系 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小（但是 $f(x)$ 不能为 0）