连续性与间断点

#笔记 #高数

1 连续性

定义：$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

- 人 话 ： 在 这 点 处 的 极 限 值 等 于 函 数 值 ， 就 是 连 续 > [! n o t e] 函 数 值 和 极 限 值 的 关 系 > 函 数 在 某 点 连 续 时 ， 函 数 值 = 极 限 值 + 高 阶 无 穷 小 ， * * 可 以 倒 推 * * $ $ lim f (x) = A ⟺ f (x_{0}) = A + α (x)

保号性：函数在某点连续，且在这点的函数值大于 0（或小于 0），则在这点附近的函数值也大于 0（或小于 0）
运算：两个函数在某点处连续，则它们经过加减乘除后得到的函数也在该点连续（0 不能当除数）
复合：复合后的函数仍连续
反函数：函数在区间内单调且连续，则其反函数在对应区间（值域）上连续且单调性不变

2 间断点

第一类间断点：两边极限都存在

可去间断点：左极限=右极限
跳跃间断点：左极限不等于右极限

第二类间断点：两边极限至少有一个不存在

无穷间断点：比如 $1 / x$ 中，当 x=0 时
振荡间断点：比如在 x 趋向于 0 时， $s i n 1 / x$ 为振荡间断点
无穷和震荡是第二类当中常见的两种，但是不一定只有这两种，也可能既不是无穷、也不是震荡；做题直接说“第二类间断点”即可

需要分左右两边极限讨论的情况

分段函数的分界点
$e^{\infty}$
$\arctan \infty$