1 概念

也是一种求和

2 几何意义

• 二重积分 $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 是一个数——定积分也是一个数
• $f(x,y)\ge 0$ 时，二重积分的值等于以区域 $D$ 为底，以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积

3 性质

不等式性质

1. 若在区域 $D$ 上有 $f(x,y)\le g(x,y)$，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$
2. 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则 $mS\le \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le MS$
   • $m,M$ 是最值，$S$ 是区域 $D$ 的面积
3. $|\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma |\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$

中值定理

若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则

其中 $(\xi ,\eta )\in D$，S 是区域 $D$ 的面积