几何基础

1 直线

常见直线方程

点斜式：

y - y_{0} = k (x - x_{0})

两点式：

y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1}) \to \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}

标准式：

A x + B y + C = 0

点到直线距离公式

d = \frac{| A x_{1} + B y_{1} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

法线、切线

法线与切线互相垂直，斜率之积为 -1

切线方程： $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
法线方程： $y - y_{0} = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0})$

2 圆锥曲线

圆

标准形式： $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
一般形式： $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$
- 圆心 $(- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$ ，半径 $R = \frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4 F}}{2}$
常用公式：

名称	表达式
周长 $C$	$C = 2 π R$
面积 $S$	$S = π R^{2}$

椭圆

椭圆方程：

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

偏心椭圆方程：
x 轴平移 m，沿 y 轴平移 n

\frac{{(x - m)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - n)}^{2}}{b^{2}} = 1

椭圆面积：

S = π a b

双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

在 $x$ 轴上下两边的双曲线
顶点： $(0, a), (0, - a)$

3 三角形面积

通常由底边长和高表示三角形面积，但是也要小心意外

设 x、y、z 是三角形的两个边，并且 y 为三角形的底边，h 为三角形的高，三角形的周长为 2p，则有

S = \sqrt{p (p - x) (p - y) (p - z)} = \frac{1}{2} y h

4 立体几何

球

球的表面积： $S = 4 π R^{2}$
球的体积公式： $V = \frac{4}{3} π R^{3}$

圆锥体积公式

S 为圆锥的底面积，H 为圆锥的高，则： $V_{圆锥} = \frac{1}{3} S H$
若圆锥底面的半径为 R，则： $V_{圆锥} = \frac{π}{3} R^{2} H$

四面体体积公式

$V = \frac{1}{3} S H$