初等函数运算技巧

1 多项式公式

三项完全平方式

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

完全立方和、差

\begin{aligned} {(a + b)}^{3} & = a^{3} + b^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \\ {(a - b)}^{3} & = a^{3} - b^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \end{aligned}

二项式定理

\begin{aligned} {(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} = a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + b^{n} \end{aligned}

2 分子、分母的有理化

有理化，即去除掉分子或者分母中的根式

分子有理化：
- 将分子分母同乘以其分子中根式的共轭根式
- 例：$$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})*(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}=\frac{2}{x\cdot(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}$$
分母有理化：
- 方法同分子有理化，将分子分母同乘其分母的共轭根式

3 裂项

留数法

真分式的拆分：

单极点： $$\large \begin{array}{lcl} \frac{1}{(x+a)(x+b)} & = & \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b} \ \frac{1}{(x+a)(x+b)(x+c)} & = & \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c} \end{array}$$
重极点：重根的部分要升幂 $$\large \begin{array}{lcl} \frac{1}{(x+a)(x+b)^2} & = & \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{(x+b)^2} \end{array}$$
含有共轭极点：分子部分是求导加常数 $$\large \begin{array}{lcl} \frac{1}{(x+a)(x^2+bx+c)} & = & \frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c} \ \frac{1}{(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)} & = & \frac{Ax+B}{x^2+ax+b}+\frac{Cx+D}{x^2+cx+d} \end{array}$$
含有共轭重极点：重根的部分要升幂 $$\large \begin{array}{lcl} \frac{1}{(x+a)(x^2+bx+c)^3} & = & \frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}+\frac{Dx+E}{(x^2+bx+c)^2}+\frac{Fx+G}{(x^2+bx+c)^3} \end{array}$$
利用留数法求待定系数
单根：等式左右两边同乘该单根的因式，再令剩下部分的 $x$ 为该根，可求得对应待定系数
- 例：
- 同乘 $(x + 2)$ ，得 $\frac{1}{x + 3} = A + \frac{B (x + 2)}{x + 3}$
- 令 $x = - 2$ ，解得 $A = 1$
- 同理得 $B = - 1$
重根：其中最高次部分可以像单根一样直接乘最高次因式，求得待定系数；而非最高次的待定系数则可以用取极限的方法，利用抓大头的思想求得
- 例：
- 先用求单根的方法求得 $A = 1$
- 求单根时产生的不含该单根因式的式子，可以用抓大头的方法求得重根非最高次分式的系数：对 $\frac{1}{(x + 3)^{2}} = A + (x + 2) [\frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^{2}}]$ ，取 $x \to \infty$ 时的极限，即抓大头，得 $0 = A + B$ ，故 $B = 1$
- 同乘 $(x + 3)^{2}$ ，再赋 $x$ 值可得 $C = - 1$
单根+共轭根：单根部分同上，共轭根部分 $x$ 的系数要用抓大头的方法，只要左右两边同乘 $x$ ，分子的阶数就跟分母一致，抓大头可以保留 $B$ ；剩下的参数只要令 $x = 0$ 保留下来就能算了
- 例：
- 可见处理共轭根的思想是：求x系数要将分子阶数要凑得与分母一致，求常数项要让x为0保留常数
重根+共轭根：【求导法】求重根的非最高次因式，要利用求最高次因式系数的式子，求导后可保留目标系数，消去无关系数(把无关的因式用辅助函数代替，免得求导麻烦)；共轭根的部分同上。
- 例：

加项、减项、拆

目的：
- 进行多项式分式的化简；
方法：
- 从分子的最高项开始入手，去凑与分母相同的公因式进行相消，随后依次逐个从高到低进行化简，直至化到分子最高项小于分母；

4 解一元方程

一元二次方程求根公式

对于 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ：
- $△ = b^{2} - 4 a c > 0 \Leftrightarrow$ 方程有两个不同的实根；
- $△ = b^{2} - 4 a c = 0 \Leftrightarrow$ 方程有两个相等实根；
- $△ = b^{2} - 4 a c < 0 \Leftrightarrow$ 方程有一对共轭复根
求根公式：$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

求解一元三次方程

第一步：将方程改写成 $x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 的形式
第二步：猜根，根据 $d$ 猜测其可以分解成哪三个数的乘积
第三步：整理，分解因式——先将其整理成 $(x - x_{0}) (x^{2} + p x + q) = 0$ 的形式，求解 $x^{2} + p x + q = 0$ 得到另外两个根