1 无穷区间上的反常积分

1. 极限 $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x$ 存在时，称反常积分收敛，反之为发散

2. 也可以定义在负无穷区间上的反常积分：

3. 正负无穷区间上的反常积分

两半积分都收敛，整个反常积分才收敛；反之，只要有其一发散，反常积分就发散

2 无界函数的反常积分（瑕积分）

• 瑕点（无界点）：函数在其附近任一邻域内无界的点

1. $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x$$
2. $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{t\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x$$
3. $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x+\underset{t\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x$$

3 敛散性判别

无穷区间

1. 比较判别法
   设 $0\le f(x)\le g(x)$，则有

   1. 大收敛 $\to$ 小收敛
   2. 小发散 $\to$ 大发散

2. 比较判别法的极限形式
   设 $f(x),g(x)$ 在区间上非负、连续，且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\lambda$ （有限值或者无穷）

   1. $\lambda >0$ 时，同敛散
   2. $\lambda =0$ 时，若 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛
   3. $\lambda =+\mathrm{\infty }$ 时，若 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散

3. $p$ 积分（常用结论，经常用 $p$ 积分做 $g(x)$ ）

瑕积分

1. 比较判别法
   设 $0\le f(x)\le g(x)$，则有

   1. 大收敛 $\to$ 小收敛
   2. 小发散 $\to$ 大发散

2. 比较判别法的极限形式
   设 $f(x),g(x)$ 在区间上非负、连续，且 $\underset{x\to a^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\lambda$ （有限值或者无穷）

   1. $\lambda >0$ 时，同敛散
   2. $\lambda =0$ 时，若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛
   3. $\lambda =+\mathrm{\infty }$ 时，若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散

3. $q$ 积分（常用结论，经常用 $q$ 积分做 $g(x)$ ）

总方法

• 定义法、比较法、p 积分/q 积分
• 判断时，一次只能处理一个瑕点（$\mathrm{\infty }$ 是广义瑕点），有多的要拆开研究
• 将 $f(x)$ 用等价无穷小/无穷大变形，或乘以非 0 常数，均不改变敛散性——可秒选填
• 默认 $f(x)>0$，有负号要提外面去

4 计算

• 利用换元、分部积分法解
• 再利用广义的牛顿-莱布尼兹公式，无穷和瑕点的部分用极限求