1 行向量、列向量

• $n$ 维行向量：只有 1 行，n 个元素 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$
• $n$ 维列向量：只有 1 列，n 个元素 $\beta =\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$

2 向量运算

基本运算

• 相等：$\alpha =\beta$
• 加法：$\alpha +\beta =(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n)$
• 数乘：$k\alpha =(k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n)$
• 转置：${\alpha }^{\mathrm{T}}$
• 乘法：${\alpha }^T\beta ,\alpha {\beta }^T$，方法和矩阵乘法一样

内积

对应元素相乘相加，也就是矩阵乘法的操作，记作 $(\alpha ,\beta )$

• 正交：内积为 0，即 $(\alpha ,\beta )=0$ 时，向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 正交
• 长度（模）：$\Vert \begin{array}{c}\alpha \end{array}\Vert =\sqrt{(\alpha ,\alpha )}$ ——自己与自己做内积，再开平方
• 单位向量：长度为 1 的向量
• 单位化：${\displaystyle \frac{1}{\Vert \begin{array}{c}\alpha \end{array}\Vert }}\alpha$