行列式

1 行列式的定义

det A = | A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

| A | = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}

$2 \times 2$ 行列式：主副对角线元素相乘相减， $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$
$3 \times 3$ 行列式： $(主对角线 + 平行主对角线) - (副对角线 + 平行副对角线)$ $| \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} | = (a_{1} b_{2} c_{3} + a_{2} b_{3} c_{1} + a_{3} b_{1} c_{2}) - (a_{3} b_{2} c_{1} + a_{2} b_{1} c_{3} + a_{1} b_{3} c_{2})$
上三角、下三角、数量阵（单位阵）：主对角线元素之积

交换行列式中的两行或两列，行列式变号
方阵 $A$ 的某行或某列乘以 $k$ 得方阵 $B$ ，则 $| B | = k | A |$
- 和矩阵数乘不一样： $| k A | = k^{n} | A |$
- 若行列式某行或某列元素全为 0，则行列式为 0
某行/列的 $k$ 倍加到另外一行/列，行列式的值不变
- 某两行/列相同或成比例，则行列式为 0
- 可以用该性质尝试将行列式化为上三角或下三角，化为简单运算
同阶方阵有：乘法的行列式=行列式的乘法 $| A B | = | A | \cdot | B |$
转置后行列式不变： $| A^{T} | = | A |$

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} + k_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} + k_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} + k_{n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & k_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & k_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & k_{n} \end{matrix} |

拆行/列法一次只能拆 1 行/ 1 列

重要，有了展开定理计算更加灵活

在 $n$ 阶行列式中去掉元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素构成的一个 $n - 1$ 阶行列式称作 $a_{i j}$ 的余子式，记作 $M_{i j}$
代数余子式： $A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$

$n$ 阶行列式等于它任意一行所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和

| A | = a_{k 1} A_{k 1} + a_{k 2} A_{k 2} + \dots + a_{k n} A_{k n}

- 以上为按行展开，还可以按列展开
- 可以挑 0 多的行/列进行展开
- 实践中一般要先对行列式进行恒等变形

把展开式中的元素换成另一个数字，相当于直接改变原行列式中原位元素的值（指针这一块）

1 \cdot A_{11} + 1 \cdot A_{12} + \dots + 1 \cdot A_{1 n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

结论：按行/列展开，却用另一行的元素组合，得到的值为0

| \begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{1}^{n} & x_{2}^{n} & \dots & x_{n}^{n} \end{matrix} | = (x_{n} - x_{n - 1}) (x_{n} - x_{n - 2}) \dots (x_{n} - x_{1}) \cdot (x_{n - 1} - x_{n - 2}) \dots (x_{2} - x_{1}) = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_{i} - x_{j})

| \begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n - 1} \\ \dots \\ a_{n 1} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1 n} a_{2 n - 1} \dots a_{n 1}

主对角线 $| \begin{matrix} A & X \\ O & B \end{matrix} | = | \begin{matrix} A & O \\ X & B \end{matrix} | = | A | \cdot | B |$
副对角线 $| \begin{matrix} O & A \\ B & X \end{matrix} | = | \begin{matrix} X & A \\ B & O \end{matrix} | = (- 1)^{m n} | A | \cdot | B |$ $m, n$ 分别是 $A, B$ 的阶数
- 符号的成因是需要交换两列，把整个矩阵换过去变成主对角线形式

| \begin{matrix} b & a & \dots & a \\ a & b & \dots & a \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a & a & \dots & b \end{matrix} | = [b - (n - 1) a] (b - a)^{n - 1}

| \begin{matrix} a_{1} & 0 & \dots & 0 & b_{1} \\ b_{1} & a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ 0 & b_{2} & ⋱ & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & b_{n} & a_{n} \end{matrix} | = a_{1} a_{2} \dots a_{n} + (- 1)^{n + 1} b_{1} b_{2} \dots b_{n}

| \begin{matrix} b & a \\ c & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & a \\ c & b \end{matrix} | = {\begin{cases} (n + 1) (\frac{b}{2})^{n}, & b^{2} = 4 a c \\ 按第 1 行展开，逆推, & b^{2} \neq 4 a c \end{cases}

| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ ⋱ & ↗ \\ a_{n} & b_{n} \\ b_{n + 1} & a_{n + 1} \\ ↗ & ⋱ \\ b_{2 n} & a_{2 n} \end{matrix} | = (a_{1} a_{2 n} - b_{1} b_{2 n}) (a_{2} a_{2 n - 1} - b_{2} b_{2 n - 2}) \dots (a_{n} a_{n + 1} - b_{n} b_{n - 1})