相平面法

概念

相平面法只适合低阶系统（二阶）

等倾斜线法绘图过程

先写出微分方程和斜率方程（假设斜率 $\frac{d \dot{x}}{d x} = a$ ）
根据斜率方程写出等倾斜线方程 $\dot{x} = \frac{f (x)}{a}$ —— 与 $a$ 有关的直线方程
取不同的 $a$ 在相平面上画出一根根等倾斜线
在起始点处，根据所在等倾斜线的 $a$ 值画一段斜率为 $a$ 的线段，直到与下一条等倾斜线相交
再在交点处画通向下一根等倾斜线的线段（斜率 $a_{1}$ ），如此往复
最后平滑一下这些线段成完整曲线就画好了
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相平面图的分析

线性系统

非线性系统

没给起始点的相轨迹，至少画2条

起始点要求给出： $t = 0$ 时系统各变量的值，至少要有 $e (0), \dot{e} (0)$
或者明确告诉“初始条件为零”“零初始条件”，此时 $\dot{e} = 0$ ， $e = r - c = r$ 与输入有关

线性化方法

对于二阶微分方程给出的本质非线性

令 $\ddot{x} = \dot{x} = 0$ ，求得奇点
移项得 $\ddot{x} = f (x, \dot{x})$ —— 这里要和上面等倾斜线法的式子区分
泰勒展开得 $Δ \ddot{x} = A Δ x + B Δ \dot{x}$ —— 多元函数、全微分来支持了
得 $Δ \ddot{x} - A Δ x - B Δ \dot{x} = 0$ ，直接写出特征方程 $s^{2} - B s - A = 0$
根据特征根（极点）的情况可判断奇点类型（中心点、交点节点鞍点）
（还可根据特征根情况判断系统运动类型：等幅振荡、衰减震荡、发散震荡 —— 和线性二阶系统一样）

对于非齐次线性微分方程（带非零常数项）

例如 $\ddot{y} + y = N$
直接忽略常数项，特征方程为 $s^{2} + 1 = 0$ —— 和高数里的常系数微分方程一个操作

本质非线性题

用相轨迹求稳态误差

会问这种问题说明相轨迹收敛到奇点，此时系统是稳定的 —— 记住收敛和稳定这对关系
收敛到奇点的相轨迹，其坐标可表示为 $(e (\infty), \dot{e} (\infty))$
那么奇点的横坐标就是稳态误差