1 方法总结

判类型，选方法

1. 线性方程，代公式
2. $x,y$ 对调
3. 变量代换
   按顺序尝试解题即可：
   如果是线性方程，直接代公式即可；如果看不出来，尝试调换变量，把 $y$ 当作 $x$，把 $x$ 当作 $y$，则 $y^{\prime }={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}}$，尝试将方程化为线性方程；还不行，使用变量代换法，将复杂的项用另一个变量代换，最后再变换回来，如 $y^{\prime }=\cos (x+y)$，令 $u=x+y$

2 综合

漏解问题

1. 对于需要进出根号的情况，需要讨论符号
   • 比如 $y^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}$
   • 可以分出两种情况：$y^{\prime }=\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{y}{x}},x>0;y^{\prime }=-\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{y}{x}},x<0$

定义区间问题

1. 给初始条件求特解的情况下，只需将初始点包括进去即可
   • 给 $y(0),y^{\prime }(0)$ ，求 $(1-x^2)y^{\prime }-xy=0$ 的特解
   • 有 $y^{\prime }-{\displaystyle \frac{x}{1-x^2}}y=0(x\ne \pm 1)$，进行除法操作要注意定义域
   • 得 $y=C{e}^{-\frac{1}{2}\ln |1-x^2|}=C{e}^{-\frac{1}{2}\ln (1-x^2)}={\displaystyle \frac{C}{\sqrt{1-x^2}}}(-1<x<1)$，因为特解的点在这个区间，故不用讨论其他区间

题型 1：换元

• 进行换元，需要同时对原方程进行变形
• 参考欧拉方程，需要将原方程的 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 等变成对 $t$ 的导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}$
• 解得的方程是 $y(t)$，记得再换回来