微分方程

1 基本概念

y^{'} = f (x, y)

可分离变量
可表示为 $g (y) d y = f (x) d x$ 的方程，也就是可将 $x, y$ 分离到等号两边
求解方法：两端积分
$\int g (y) d y = \int f (x) d x$
齐次方程
能够化为 $\frac{d y}{d x} = φ (\frac{y}{x})$ 的微分方程
求解方法：令 $u = \frac{y}{x}$ ，则有 $y^{'} = u + x u^{'}$ ，原方程可化为 $x u^{'} = φ (u) - u$ ，变成可分离变量的微分方程
线性方程
一阶线性微分方程： $y^{'} + p (x) y = Q (x)$
求解方法：常数变易法，或者用公式（就是用常数变易法得到的）
$y = e^{- \int p (x) d x} [\int Q (x) \cdot e^{\int p (x) d x} d x + C]$
伯努利方程（数一）
$y^{'} + p (x) y = Q (x) y^{n}$ ，比一阶线性方程多一个 $y^{n}$
解法：令 $u = y^{1 - n}$ ，化为一阶方程
全微分方程（数一）

$y^{(n)} = f (x)$
连续积分，注意每积一次都会多出来一个常数 $C_{i}$
$y^{″} = f (x, y^{'})$ ——不含 $y$
令 $y^{'} = p, y^{″} = p^{'}$ ，可将原方程化为一阶方程
$y^{″} = f (y, y^{'})$ ——不含 $x$
令 $y^{'} = p, y^{″} = p \frac{d p}{d y}$ ，化为一阶方程： $\frac{d p}{d y} = f (y, p)$

主要讨论二阶线性微分方程：
- 齐次方程： $y^{″} + p (x) y^{'} + q (x) y = 0$
- 非齐次方程： $y^{″} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)$
齐次方程的通解： $y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)$
- 要求： $y_{1} (x)$ 和 $y_{2} (x)$ 线性无关，即它们之比不是常数
非齐次方程的通解： $y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + y^{*} (x)$
- 齐次通解+非齐次特解
齐次解和非齐次解的关系：非齐次方程的两个特解 $y_{1}^{*} (x), y_{2}^{*} (x)$ 相减是齐次方程的一个解 $y (x) = y_{1}^{*} (x) - y_{2}^{*} (x)$
非齐次特解的性质：如果 $y_{1}^{*} (x), y_{2}^{*} (x)$ 分别是下面两个非齐次方程的特解，则有 $\begin{array}{r} y^{″} + p (x) y^{'} + q (x) y = f_{1} (x) \\ y^{″} + p (x) y^{'} + q (x) y = f_{2} (x) \end{array}$
- $y_{1}^{*} (x) + y_{2}^{*} (x)$ 是 $y^{″} + p (x) y^{'} + q (x) y = f_{1} (x) + f_{2} (x)$ 的一个特解
- 假设 $f_{1} (x) = f_{2} (x) = f (x)$ ，则 $y_{1}^{*} (x) + y_{2}^{*} (x)$ 是 $\dots = 2 f (x)$ 的一个特解； $\frac{y_{1}^{*} (x) + y_{2}^{*} (x)}{2}$ 是 $\dots = f (x)$ 的一个特解

通解的情况取决于特征方程

特征根不相同 $r_{1} \neq r_{2}$ 时 $y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
重根的情况 $r_{1} = r_{2}$ $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r x}$
共轭复根的情况 $r_{1}, r_{2} = α \pm i β$ $y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)$

特解的情况取决于 $f (x)$ 和特征根

（只含多项式）若 $f (x) = P_{m} (x) e^{λ x}$ ，特解可设为
$y^{*} = x^{k} \cdot Q_{m} (x) \cdot e^{λ x}$
其中 $Q_{m} (x)$ 是与 $P_{m} (x)$ 同次的多项式， $k$ 是特征根 $r_{i} = λ$ 的个数，可能有 $k = 0$
（含三角函数）若 $f (x) = e^{α x} [P_{m} (x) \cos β x + P_{n} (x) \sin β x]$ ，特解可设为
$y^{*} = x^{k} \cdot e^{α x} [R_{o}^{(1)} (x) \cos β x + R_{o}^{(2)} (x) \sin β x]$
其中 $R_{o}^{(1)} (x), R_{o}^{(2)} (x)$ 是两个 $o$ 次多项式，上标是序号， $o = max (m, n)$
$k$ 与特征根有关：
- $α + i β$ 是原方程的特征根时， $k = 1$
- $α + i β$ 不是原方程的特征根时， $k = 0$

可见，非齐次方程的特解含有非齐次项的模态，需要待定的项只有 $x^k$ 和多项式

也就是说，求 $y^{*}$ 先抄一遍 $f (x)$ ，把多项式变成待定，乘以 $x^{k}$ ，再补充细节
若 $f (x)$ 含有多种模态：
- 比如指数不一样的 $e^{x}$ 、角频率不一样的三角函数 $\cos ω_{1} x, \cos ω_{2} x$
- 要先用线性性质拆成不同的特解 $y_{1}^{*}, y_{2}^{*}, y_{3}^{*}$
- 最后合成最终的特解
非齐次项 $f (x)$ 含有三角函数时需要补全所有模态，比如 $f (x) = \cos x$ ， $y^{*}$ 中需要有 $\cos x, \sin x$ 的部分
注意：特解中不会出现 $f (x)$ 中没有的模态
- 如果给方程的一个解，要会分辨哪些模态是通解的、哪些是特解的

求得的特解要代入原方程，求得待定系数

x^{n} y^{(n)} + p_{1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1} x y^{'} + p_{n} y = f (x)

令 $x = e^{t}$ ，则 $t = \ln x, \frac{d t}{d x} = \frac{1}{x}$ （ $x < 0$ 时可令 $x = - e^{t}$ ）,于是有

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d t} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x}) \cdot \frac{d t}{d x} \end{aligned}

把关于 $x$ 的方程换成关于 $t$ 的方程就行，注意最后再变换回 $x$