求极限

1 有理运算法则

设 $lim f (x) = A, lim g (x) = B$ ，则

$lim [f (x) \pm g (x)] = lim f (x) \pm lim g (x) = A \pm B$
$lim [f (x) \cdot g (x)] = lim f (x) \cdot lim g (x) = A \cdot B$
$lim \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim f (x)}{lim g (x)} = \frac{A}{B} (B \neq 0)$

推论

极限式中的非零因子可以提出来
判断极限为 0 的常用结论
- $lim \frac{f (x)}{g (x)}$ 存在，且 $lim g (x) = 0$ ，则 $lim f (x) = 0$ ——高阶无穷小
- $lim \frac{f (x)}{g (x)} = A \neq 0$ ，且 $lim f (x) = 0$ ，则 $lim g (x) = 0$ ——同阶无穷小
存在和不存在的运算
- 存在 $\pm$ 不存在 $=$ 不存在
- 不存在 $\pm$ 不存在 $=$ 不一定

2 利用基本极限

等价无穷小：

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln a$
$1^{\infty}$ ：

\begin{aligned} lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \\ lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e \end{aligned}

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1, lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$
“抓大头”：——在专业课会经常用

lim_{x \to \infty} \frac{a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}}{b_{m} x^{m} + \dots + b_{0}} = {\begin{cases} \frac{a_{n}}{b_{m}} & n = m \\ 0 & n > m \\ \infty & n < m \end{cases}

$lim_{n \to \infty} x^{n} = {\begin{cases} 0 & | x | < 1 \\ \infty & | x | > 1 \\ 1 & x = 1 \\ 不存在 & x = - 1 \end{cases}$
$lim_{n \to \infty} e^{n x} = {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ + \infty & x > 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$
若非负、连续的函数 $f (x)$ 周期为 $T$ ，则

lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{0}^{x} f (t) d t}{x} = \frac{\int_{0}^{T} f (x) d x}{T}

- 例如： $lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{0}^{x} | \sin t | d t}{x} = \frac{\int_{0}^{π} | \sin x | d x}{π} = \frac{| \cos t | ∣_{0}^{π}}{π} = \frac{2}{π}$

3 利用等价无穷小

什么时候可以换？

乘除关系可以换（一定能换）
- 若 $α \sim α_{1}, β \sim β_{1}$ ，则有 $lim \frac{α}{β} = lim \frac{α_{1}}{β} = lim \frac{α}{β_{1}} = lim \frac{α_{1}}{β_{1}}$
加减关系在一定条件下可以换（看情况）
- 减法
  - 条件：相减不抵消
  - 若 $α \sim α_{1}, β \sim β_{1}$ ，且 $lim \frac{α}{β} = A \neq 1$ ，则有 $(α - β) \sim (α_{1} - β_{1})$
  - 例： $s i n 2 x - t a n x \sim 2 x - x$
- 加法
  - 条件：相加不抵消
  - 若 $α \sim α_{1}, β \sim β_{1}$ ，且 $lim \frac{α}{β} = A \neq - 1$ ，则有 $(α + β) \sim (α_{1} + β_{1})$
对于复合函数，要保证 $x \to 0$ 时， $f (x) \neq 0$
- 例如， $\sin x^{2} \sim x^{2}$ ，但是 $\sin (x \sin \frac{1}{x})$ 不能换成 $x \sin \frac{1}{x}$ ，因为有等于 0 的点（有无数个呢，好多呢）
- 即，趋于 0，不等于 0

⚡常用等价无穷小

经典款

x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1

幂函数、指数函数

\begin{aligned} (1 + x)^{α} - 1 \sim α x \\ 1 - \cos^{α} x \sim \frac{α}{2} x^{2} \\ a^{x} - 1 \sim x \ln a \end{aligned}

对于第一个式子，还有推广形式（注意那个-1）：

若 $α (x) \to 0, α (x) β (x) \to 0$ ，则有

(1 + α (x))^{β (x)} - 1 \sim α (x) β (x)

源自泰勒公式

\begin{aligned} x - \sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}, & \arcsin x - x \sim \frac{1}{6} x^{3} \\ \tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}, & x - \arctan x \sim \frac{1}{3} x^{3} \\ x - \ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2} \end{aligned}

可由上面几个式子记住一些泰勒公式，例如

$\tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})$

变上限积分
- 设 $f (x), g (x)$ 在 $x = 0$ 的某邻域内连续，且 $f (x) \sim g (x)$ ，则有

\int_{0}^{x} f (t) d t \sim \int_{0}^{x} g (t) d t

4 洛！必！达！法则

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

条件

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = lim_{x \to x_{0}} g (x) = 0$ （或 $\infty$ ）
$f (x), g (x)$ 在 $x_{0}$ 去心邻域内可导，且 $g^{'} (x) \neq 0$
$lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ 存在（或为 $\infty$ ）

不定式

7 种不定式： $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty, 1^{\infty}, \infty^{0}, 0^{0}$
$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 可以直接洛，后面 5 种可以转化成前两种

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} \Leftarrow {\begin{cases} 0 \cdot \infty & \Leftarrow {\begin{cases} 1^{\infty} \\ \infty^{0} \\ 0^{0} \end{cases} & (改 写 成 e^{\ln} 把 指 数 放 下 来) \\ \infty - \infty \end{cases}

- 处理方法：
- $0 \cdot \infty$ ：把 0 或无穷其中一个放到分子或分母上，凑 0 比 0 、无穷比无穷

5 泰勒公式

带皮亚诺余项的泰勒公式

设 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处 $n$ 阶可导，则有

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + o ((x - x_{0})^{n})

（麦克劳林公式）当 $x_{0} = 0$ 时，有

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + o (x^{n})

常用泰勒公式

系数、幂次最经典

e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + o (x^{2})

缺项、交错（奇函数只有奇次幂，偶函数只有偶次幂）

\begin{aligned} \sin x = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} + o (x^{5}) \\ \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} + o (x^{4}) \end{aligned}

交错、无阶乘

\ln (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

系数很特别

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + o (x^{2})

6 求函数极限的方法

函数极限的概念、性质：极限#1 函数极限

0:0 型极限

洛必达
等价无穷小代换
泰勒公式

注意

观察式子能不能化简，比如提出非 0 因子、有理化、变量代换

∞:∞ 型极限

洛必达——有时洛半天洛不出结果
抓大头：分子分母同除最高价无穷大

抓大头在填空题的用法

填空题可以不用太严谨——因此在填空题中抓大头可以只保留“大头”的部分，分子分母的和式计算的时候可以直接丢掉低阶的无穷大

∞-∞ 型极限

通分，化成 0:0——适用于分式之差
有理化——适用于根式之差
提出无穷因子，再用等价代换或变量代换、泰勒公式

1^∞ 型极限

凑基本极限
改写成指数，用洛必达
$(1 + 0)^{\infty}$ 利用结论：若 $lim α (x) = 0, lim β (x) = \infty$ ，且 $lim α (x) β (x) = A$ ，有

lim [1 + α (x)]^{β (x)} = e^{A}

1. 写标准形式 “原式 $= lim (1 + α)^{β}$ ”
2. 求极限 “ $lim α β = A$ ”
3. 写结果 “原式 $= e^{A}$ ”

0·∞ 型、指数是 0 的极限

$0 \cdot \infty$ 型可以转化成 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
- 要是两种都不方便，考虑对 0 用等价代换
$\infty^{0}, 0^{0}$ ，用 $e^{\ln}$ 的方法把指数放下来，变成 $e^{g (x) \ln f (x)}$ ，其中的 $g (x) \ln f (x)$ 就是 $0 \cdot \infty$ 型
- 别忘了把结果放到 $e$ 的指数上

注意

对于底数和指数都是很适用等价代换的形式
- 底数不能换
- 指数可以换
$e$ 的指数上不能随意用等价代换，有时必须先变形，比如分母的指数减上来

7 求数列极限

数列极限的概念、性质：极限#2 数列极限

不定式

不定式数列极限的方法与函数极限相同
但是不能直接使用洛必达——数列是离散的
- 如果可以改写成函数极限，先改写再洛

n 项和

方法：
1. 夹逼准则
2. 定积分定义
3. 级数求和（数一、三）
夹逼准则——两边夹中间
- $\exists N, n > N$ 时使 $x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}$ ，且 $lim x_{n} = lim z_{n} = a ⟹ lim y_{n} = a$
- 放缩技巧

{\begin{cases} n \cdot a_{m i n} & \leq & a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} & \leq & n \cdot a_{m a x} \\ 1 \cdot a_{m a x} & \leq & a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} & \leq & n \cdot a_{m a x} (a_{1} \geq 0) \end{cases}

- 函数极限也适用

定积分定义法——先提出“可爱因子” $\frac{1}{n}$ ，再分析被积函数和积分区间

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x

- 还可能是二重积分——对两个变量 $i, j$ ，提两次可爱因子

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \cdot \frac{1}{n^{2}} = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y \\ lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \cdot \frac{1}{n^{2}} = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f (x, y) d \end{aligned}

注意求和上限、积分上限

什么时候用夹逼准则、什么时候用定积分定义？

和式中，不随项变化的部分称为主体部分（比如 $n, n^{2}$ ），随项变化的称为变化部分（一般是随项变大的数字 $1 \to n$ ），则

变化部分最大值与主体部分相比较是

次量级——用夹逼准则
同量级——用定积分定义

量级的比较其实就是比无穷大的量级： $lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2}} = 0, lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{2}} = 1 \neq 0$

填空题技巧：对于分母中同时含有同量级和次量级变量的式子，可以直接丢掉次量级，提可爱因子用定积分定义

结论：数列极限也有抓大头

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = max_{1 \leq i \leq m} {a_{i}}

n 项相乘

方法
1. 夹逼准则
2. 取对数，变成 n 项和

递推关系定义的数列

#重点 #难点
方法：

先证明数列收敛（常用单调有界准则），再令极限 $lim x_{n} = A$ ，在递推关系式 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ 两边取极限，解方程得 $A$ 的值
（先斩后奏）先令极限 $lim x_{n} = A$ ，递推式两边取极限解出 $A$ ，再用数列极限的定义（ $| x_{n} - A | \to 0$ ）证明
- 目标： $证明 \overset{x_{n}}{通项} - \overset{A}{极限} 的 \overset{绝对值}{距离} 无限小$
- 一般会遇到如下的递推不等式，其中的 $a (0 < a < 1)$ 会越叠越多，右边越来越小

| x_{n} - A | \leq a \cdot | x_{n - 1} - A | \leq \dots \leq a^{n - 1} \cdot | x_{1} - A | \to 0

当 ${x_{n}}$ 具有单调性时，用方法 1；不具有、难判定时用方法 2

判断数列单调性的三种方法

相减：若 $x_{n + 1} - x_{n} \leq 0 (\geq 0)$ ，则数列单调减（增）
比值法：假设数列元素不变号
1. 若 $x_{n} > 0$ ，则当 $\frac{x_{n + 1}}{x_{n}} \leq 1 (\geq 1)$ 时单调减（增）
2. 若 $x_{n} < 0$ ，则当 $\frac{x_{n + 1}}{x_{n}} \leq 1 (\geq 1)$ 时单调增（减）
递推关系式满足某函数 $f (x)$ ，且数列有界 $I$
1. $f (x)$ 在 $I$ 上单调增，则数列单调性取决于前两项的关系（ $x_{1} \leq x_{2}$ ，单调增； $x_{1} \geq x_{2}$ ，单调减）
2. $f (x)$ 单调减，则数列没有单调性