极限

1 函数极限

定义

$ε - δ$ 语言：
设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，则 $\forall ε > 0, \exists δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ ，有 $| f (x) - A | < ε$
人话：
- 前提是 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 点的去心邻域内有定义（在 $x_{0}$ 点处可以无定义）
- 若函数在 $x_{0}$ 处的极限为 $A$ ，那么自变量 $x$ 无限接近 $x_{0}$ 时，函数值也无限接近 $A$

性质

局部有界性

极限点 $x_{0}$ 附近一定范围内，函数有界

局部保号性

#重点若 $x \to x_{0}$ 时， $f (x) \to A$ 且 $A > 0$ ，则在 $x_{0}$ 的去心邻域内有 $f (x) > 0$ ； $A < 0$ 同理

\begin{aligned} lim f (x) > 0 ⟹ f (x) > 0 \\ f (x) \geq 0 ⟹ lim f (x) \geq 0 \end{aligned}

记忆：戴帽法把， $lim$ 当作帽子

极限值保函数值，脱帽，脱帽严格不等
函数值保极限值，戴帽，戴帽非严格不等

求函数极限

求极限#6 求函数极限的方法

2 数列极限

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

人话：在某一项后（ $N$ ），数列中的项 $x_{n}$ 离 $a$ 的差距越来越小
数列极限的存在性和值都跟前边的有限项无关
数列的极限存在时，其子列的极限也一定存在；反之也成立

lim_{n \to \infty} x_{n} = a ⟺ lim_{k \to \infty} x_{2 k} = lim_{k \to \infty} x_{2 k + 1} = a

绝对值：当数列极限存在时，极限式两边可以直接加绝对值

lim_{n \to \infty} x_{n} = a ⟹ lim_{n \to \infty} | x_{n} | = | a |

- 只有 $a = 0$ 时才能反推回去

求函数极限

求极限#7 求数列极限