1 函数极限

定义

• $\epsilon -\delta$ 语言：
  设 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，则 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ ，有 $|f(x)-A|<\epsilon$
• 人话：
  • 前提是 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的去心邻域内有定义（在 $x_0$ 点处可以无定义）
  • 若函数在 $x_0$ 处的极限为 $A$，那么自变量 $x$ 无限接近 $x_0$ 时，函数值也无限接近 $A$

性质

局部有界性

极限点 $x_0$ 附近一定范围内，函数有界

局部保号性

#重点 若 $x\to x_0$ 时，$f(x)\to A$ 且 $A>0$，则在 $x_0$ 的去心邻域内有 $f(x)>0$；$A<0$ 同理

记忆：戴帽法把，$lim$ 当作帽子

• 极限值保函数值，脱帽，脱帽严格不等
• 函数值保极限值，戴帽，戴帽非严格不等

求函数极限

求极限#6 求函数极限的方法

2 数列极限

• 人话：在某一项后（$N$），数列中的项 $x_n$ 离 $a$ 的差距越来越小
• 数列极限的存在性和值都跟前边的有限项无关
• 数列的极限存在时，其子列的极限也一定存在；反之也成立 $$\lim_{n \to \infty} x_n=a \Longleftrightarrow \lim_{k \to \infty} x_{2k}=\lim_{k \to \infty} x_{2k+1}=a $$
• 绝对值：当数列极限存在时，极限式两边可以直接加绝对值 $$\lim_{n \to \infty} x_n=a \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} |x_n|=|a|$$
  • 只有 $a=0$ 时才能反推回去

求函数极限

求极限#7 求数列极限