二次型最值问题

二次型 $f=x^{\mathrm{T}}Ax$ 经过正交变换化为 $y^{\mathrm{T}}\mathbf{\Lambda }y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2$，若特征值大小关系 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le {\lambda }_3$，则有 $$\large \lambda_1(y_1^2+y_2^2+y_3^2)\ \le\ \lambda_1y^2_1+\lambda_2y^2_2+\lambda_3y^2_3\ \le\ \lambda_1(y_1^2+y_2^2+y_3^2)$$
即 ${\lambda }_1{y}^{\mathrm{T}}y\le y^{\mathrm{T}}Ay\le {\lambda }_3{y}^{\mathrm{T}}y$
由于正交变换不改变向量的模长，即 $x^{\mathrm{T}}x=(Qy{)}^{\mathrm{T}}Qy=y^{\mathrm{T}}y$
故 $$\large \lambda_1x^{\rm T}x\ \le\ x^{\rm T}Ax\ \le\ \lambda_3x^{\rm T}x$$

• 一般题目会给平方和的值 $x^{\mathrm{T}}x=N$，找到对应 $y$ 的坐标，再用 $x=Qy$ 变换回 $x$ 的坐标即可
  • 求 $f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$，则令 $y=(0,0,\sqrt{N}{)}^{\mathrm{T}}$
  • 求 $f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$，则令 $y=(\sqrt{N},0,0{)}^{\mathrm{T}}$