第一章：自动控制的一般概念

自动控制是什么？什么是控制装置/被控对象/被控量？

• 自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（被控量）自动地按照预定的规律运行。

经典控制理论指什么？《控制论》谁提出，标志着什么？

• 1945 年贝塔朗菲提出了《系统论》，1948 年维纳提出了著名的《控制论》，至此形成了完整的控制理论体系
• 以传递函数为基础的经典控制理论，主要研究单输入单输出、线性定常系统的分析和设计问题

现代控制理论指什么？

• 20 世纪 60 年代第二代控制理论——现代控制理论，其中包括以状态为基础的状态空间法

反馈控制是什么？反馈控制的原理是什么？反馈控制的特点（优点）反馈控制的缺点？

• 按偏差进行控制
• 控制装置对被控对象施加的控制作用，是取自被控量的反馈信息，用来不断修正被控量与输入量之间的偏差，从而实现对被控对象进行控制的任务
• 特点：不论什么原因使被控量偏离期望值，必定产生偏差，以及响应控制作用降低或消除偏差，使被控量和期望值一致。抑制内外扰动，控制精度较高
• 缺点：元件多，结构复杂，分析设计麻烦

什么是反馈？反馈控制也称为什么？

• 把取出输出量送回到输入端，并与输入信号相比较产生偏差信号的过程，称为反馈
• 由于引入了被控量的反馈信息，整个控制过程成为闭合过程，因此反馈控制也称闭环控制

控制装置狭义指哪些？

• 测量元件、比较元件和执行元件，并统称为控制装置

控制装置广义指哪些？控制系统两大部分、六种基本元件

• 一个系统必然包含被控对象和控制装置两大部分，而控制装置是由具有一定职能的各种基本元件组成的
• 测量元件；给定元件；比较元件；放大元件；执行元件；校正元件

什么是前向通路？什么是主反馈通路？什么是主回路？什么是内回路？什么是单回路系统？什么是多回路系统？

• 信号从输入端沿箭头方向到达输出端的传输通路称前向通路
• 系统输出量经测量元件反馈到输入端的传输通路称主反馈通路
• 前向通路与主反馈通路共同构成主回路
• 此外，还有局部反馈通路以及由它构成的内回路
• 只包含一个主反馈通路的系统称单回路系统
• 有两个或两个以上反馈通路的系统称多回路系统

自动控制系统的基本控制有哪些

• 反馈控制是自动控制系统最基本的控制方式，还有开环控制方式和复合控制方式

开环控制方式是什么？开环控制方式有什么分类？开环控制有什么特点（优点）？开环控制的缺点？适用场合、开环控制方式举例

• 开环控制方式是指控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制过程
• 开环控制系统可以按给定量控制方式组成，也可以按扰动控制方式组成。或答分为有扰动补偿（有前馈）和无扰动补偿两类
• 特点：输出量不会对系统的控制作用产生影响，结构简单，调整方便，成本低
• 缺点：对于无扰动补偿，没有自动修正偏差能力，抗扰性能差
• 适用：在精度要求不高或扰动影响较小的情况，如自动售货机、自动洗衣机、产品生产自动线、数控车床以及指挥交通的红绿灯的转换等，一般都是开环控制系统
• 按扰动控制的开环控制方式是直接从扰动取得信息，并据以改变被控量，因此，其抗扰动性好，控制精度也较高，但它只适用于扰动是可测量的场合

有扰动补偿/按扰动控制/顺馈/前馈控制方式是什么？有什么特点（优点）有什么缺点？

• 利用可测量的输入（扰动），产生补偿作用，以降低或抵消输入（扰动）对输出的影响
• 特点：属于开环控制方式，直接从输入（扰动）取得信息，抗扰性能好，控制精度较高
• 缺点：只适用于输入（扰动）可测量的场合

什么是复合控制方式？有什么特点（优点）？有什么缺点？

• 按偏差控制+按扰动控制，对主要扰动进行补偿，同时组成反馈控制系统按偏差控制，以消除其余扰动产生的偏差
• 特点：系统主要的干扰已被补偿，反馈控制消除其余扰动产生的偏差，反馈系统比较容易设计，控制效果更好
• 缺点：系统组成更加复杂，分析设计麻烦

什么是恒值控制系统、随动系统和程序控制系统？举例

• 恒值控制系统：这类控制系统的输入量是一个常值；如果被控量是温度、流量、压力、液位且要求保持恒定
• 随动系统：要求被控量以尽可能小的误差跟随输入量的变化，故又称为跟踪系统。如：函数记录仪、雷达、火炮瞄准。
  • 在随动系统中，如果被控量是机械位置或其导数时，这类系统称之为伺服系统
• 程序控制系统：按预定规律随时间变化的函数，要求被控量迅速、准确地加以复现。如：洗衣机、数控机床、零件制造、红绿灯切换

什么是非线性系统？非线性系统和线性系统的关系？

• 非线性控制系统：系统中只要有一个元部件的输入输出特性是非线性的，或答微分方程中系数与变量有关，或者方程中含有变量及其导数的高次幂或乘积项
• 与线性系统的关系：非线性是常态，线性是理想模型和一定范围内的近似

自动控制系统的基本要求、线性系统的稳定性由什么决定？

• 稳定性
  • 线性系统的稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界因素无关
• 快速性
  • 对控制系统过渡过程的时间（即快速性）和最大振荡幅度（即超调量）一般都有具体要求
• 准确性
  • 当过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致

阶跃函数/斜坡函数/脉冲函数/正弦函数的举例

• 阶跃：电源电压突然跳动，负载突然增大或减小，飞机飞行中遇到的常值阵风扰动
• 斜坡：雷达跟踪的目标以恒定速率飞行
• 脉冲：脉冲函数在现实中是不存在的，只有数学上的定义
• 正弦：舰船的消摆系统、稳定平台的随动系统

【填空题】

1. 反馈控制又称 偏差控制，其控制作用是通过 给定值 与反馈量的差值进行的
2. 复合控制有两种基本形式：即按 输入 的前馈复合控制和按 扰动 的前馈复合控制
3. 在水箱水温控制系统中，受控对象为 水箱，被控量为 水温
4. 自动控制系统有两种基本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为 开环控制系统；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为 闭环控制系统；含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于 闭环控制系统
5. 对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即 稳定性 快速性和 准确性。其中最基本的要求是 稳定性
6. 反馈控制系统的工作原理是按 偏差 进行控制，控制作用使 偏差 消除或减小，保证系统的输出量按给定输入的要求变化
7. 自动控制系统按控制方式分，基本控制方式有：开环、闭环、复合 三种
8. 自动控制系统按输入量的变化规律可分为恒 值控制系统、随动控制系统 与 程序控制系统
9. 系统的微分方程为 $\frac{\mathrm{d}c(t)}{\mathrm{d}t}-c(t)=r(t)-3\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}$，该系统属于 线性时变 系统
10. 系统的微分方程为 $c(t)=r(t)\cos \omega t-5$，该系统属于 非线性 系统

第二章：控制系统的数学模型

什么是数学模型？静态数学模型、动态数学模型

• 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型，描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型

建立模型的方法

• 分析法和实验法

数学模型举例

• 时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程
• 复数域中有传递函数、结构图
• 频域中有频率特性等

非线性微分方程的线性化有哪些方法

• 第一种方法：在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略非线性的影响，将这些元件视为线性元件
• 第二种方法：切线法或小偏差法，在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替

平衡状态？增量线性化方程的合理性？

• 系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即 平衡状态
• 在建立控制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程所描述的系统特性

传递函数的定义？传递函数的性质？

• 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比
• 性质：
  • 传递函数是复变量 $s$ 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质；$m\le n$ 且所有系数均为实数
  • 传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。因此可以用方块图来表示一个具有传递函数 $G(s)$ 的线性系统。表明系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数联系起来
  • 传递函数与微分方程有相通性。传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应
  • 传递函数 $G(s)$ 的拉氏反变换是脉冲响应 $g(t)$

零初始条件

• 传递函数是在零初始条件下定义的，控制系统的零初始条件有两方面的含义
• 一是指输入量是在 $t\ge 0$ 时才作用于系统，因此，在 $t=0^{-}$ 时，输入量及其各阶导数均为零
• 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在 $t=0^{-}$ 时的值也为零，现实的工程控制系统多属此类情况

传递函数零极点对模态的影响

• 传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态
• 传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它们却影响各模态在响应中所占的比重，因而也影响响应曲线的形状

结构图、信号流图适用范围

• 信号流图只适用于线性系统，而结构图也可用于非线性系统

【填空题】

1. 两个传递函数分别为 $G₁(s)$ 与 $G₂(s)$ 的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为 $G(s)$, 则 $G(s)$ 为 $G₁(s)+G₂(s)$ (用 $G₁(s)$ 与 $G₂(s)$ 表示) ; 以串联方式连接, 其等效传递函数为 $G₁(s)G₂(s)$ (用 $G₁(s)$ 与 $G₂(s)$ 表示)
2. 传递函数是指在 零初始条件 下，线性定常控制系统的 输出量的拉氏变换 与 输入量的拉氏变换 之比
3. 控制系统的数学模型，取决于系统 结构 和 参数，与外作用及初始条件无关
4. 若某单位负反馈控制系统的前向传递函数为 $G(s)$，则该系统的开环传递函数为 $G(s)$，闭环传递函数为 $\frac{G(s)}{1+G(s)}$
5. 能表达控制系统各变量之间关系的数学表达式或表示方法，叫系统的数学模型，在经典控制理论中主要采用的数学模型是 微分方程、传递函数 和 结构图

【选择题】

1. !S00 专项-1761835579337.webp
2. !S00 专项-1761835617812.webp
3. !S00 专项-1761835637916.webp
4. !S00 专项-1761835653918.webp
5. B !S00 专项-1761835665174.webp

第三章：时域法

什么是典型输入信号？典型输入信号有哪些？

• 指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数
• 典型输入信号：
  • 单位阶跃函数
  • 单位斜坡（速度）函数
  • 单位加速度（抛物线）函数
  • 单位脉冲函数
  • 正弦函数

什么是动态过程？动态过程有哪些形式？系统是稳定对应动态系统？

• 动态过程 又称 过渡过程 或 瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程
• 动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式
• 一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的

什么是稳态过程？稳态性能指谁的信息？性能指标有哪些方面构成？

• 稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间趋于无穷时，系统输出量的表现方式
• 提供系统有关稳态误差的信息，用 稳态性能 描述
• 性能指标通常有动态性能和稳态性能

动态性能有哪些？

• 上升时间 $t_r$ （无振荡 10%-90%，或有振荡从零到终值），与【响应速度】相关
• 峰值时间 $t_p$ ，与【响应速度】相关
• 调节时间 $t_s$ ，与【速度+阻尼程度】相关
• 超调量 ${\sigma }_p$ ，与【阻尼程度】相关

稳态性能有哪些？

• 稳态误差 $e_{ss}$ ——反应控制精度或抗扰动能力

初始条件为零闭环传递函数和脉冲响应函数是什么关系？这种关系可以用于什么？

• 二者等同
• 可以用来求闭环传函：常以单位脉冲输入信号作用于系统，根据被测定系统的单位脉冲响应，可以求得被测系统的闭环传递函数

工程上如何近似理想单位脉冲函数？

• 工程上无法得到理想单位脉冲函数，因此常用具有一定脉宽 b 和有限幅度的矩形脉动函数来代替
• 要求 0.1 b 小于 T

求导等价对应关系？其意义是？

• 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数
• 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定
• 研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究

阻尼比的不同取值对应系统是什么样的动态响应（动态过程）？

• 负阻尼（$\zeta <0$）：系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形式，所以不稳定
• 无阻尼（$\zeta =0$）：系统的阶跃响应为等幅振荡
• 欠阻尼（$0<\zeta <1$）：衰减振荡过程
  • 二阶系统欠阻尼的 衰减系数：$\zeta {\omega }_n$
• 临界阻尼（$\zeta =1$）：阶跃响应非周期地趋于稳态输出
• 过阻尼（$\zeta >1$）：非周期地趋于稳态输出，但响应速度比临界阻尼情况缓慢

用公式计算出的欠阻尼调节时间偏大或偏小？

• 为方便起见，往往采用包络线代替实际响应来估算调节时间，所得结果略保守，即【偏小】

在怎样的系统，需要采用过阻尼系统或临界阻尼系统？

• 低增益、大惯性的温度控制系统中，需要采用过阻尼系统
• 在有些不允许时间响应出现超调，而又希望响应速度较快的情况下，例如在指示仪表系统和记录仪表系统中，需要采用临界阻尼系统

如何改变二阶系统的性能，有哪些常用方法?

• 比例-微分控制
• 测速反馈控制

比例微分控制的原理是?

• 比例微分控制是一种早期控制，可在出现位置误差前，提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的
  • 可以改善系统动态性能而不影响常值稳态误差的原因：它相当于增大系统的阻尼，从而容许选用较大的开环增益，如果采用比例微分控制同时增大开环增益，就可以改善系统的动态性能和稳态精度
• 将系统变为带有零点的二阶系统

比例微分对系统性能的影响

• 增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值稳态误差及系统的自然频率
• 由于采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，因而在保证一定的动态性能条件下，可以减小稳态误差
• 应当指出，微分器对于噪声，特别是对于高频噪声的放大作用，远大于对缓慢变化输入信号的放大作用，因此在系统输入端噪声较强的情况下，不宜采用比例-微分控制方式。此时，可考虑选用控制工程中常用的测速反馈控制方式

速度反馈控制的原理是?

• 通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统动态性能

速度反馈影响系统的稳态误差吗?

• 测速反馈会降低系统的开环增益，从而加大系统在斜坡输入时的稳态误差
• 为了减小稳态误差，必须加大原系统的开环增益，而使速度反馈单纯用来增大系统阻尼

比例-微分控制与测速反馈控制的比较

• 附加阻尼来源：比例-微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值
• 使用环境：比例-微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例-微分控制。同时，微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛
• 对开环增益和自然频率的影响：比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振
• 对动态性能的影响：比例-微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量

什么是主导极点？

• 如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点
• 闭环极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或者是他们的组合

稳定性的基本概念

• 所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能
• 大范围的稳定小范围的稳定：
  • 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统
  • 如果系统受到有界扰动作用后，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为小范围稳定的系统。线性系统，必然在大范围小范围都能稳定；非线性系统才会出现小范围稳定而大范围不稳定的情况

渐进稳定

• 若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
• 反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散；则称系统不稳定

线性系统稳定的充分必要条件？

• 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部
• 或者说，闭环传递函数的极点均位于 s 左半平面

求稳先判稳！

• 只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义
• 对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性

无差系统、有差系统

• 把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统
• 而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系统

附加稳态误差、结构性稳态误差

• 对于非线性因素所产生的稳态误差，成为附加稳态误差，或结构性稳态误差

误差和偏差

• 误差：被控量和输出量之间的偏差（在输出端）
• 偏差：输入信号与主反馈信号不等时，比较装置的输出（在输入端）

误差的定义方法

• 输入端定义误差的方法，即输入信号减去主反馈信号
• 另一种是从系统输出端定义，它定义为系统输出量的希望值与实际值之差
• 前者定义的误差，在实际系统中是可以量测的，具有一定的物理意义；后者定义的误差，在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义

速度误差的含义

• 速度误差的含义并不是指系统稳态输出与输入之间存在速度上的误差，而是指系统在速度（斜坡）输入作用下，系统稳态输出与输入之间存在位置上的误差
• 等价说法：I 型单位反馈系统，稳态输出速度恰好与输入速度相同，但存在一个稳态位置误差，其数值与输入速度信号的斜率 R 成正比，而与开环增益 K 成反比

加速度误差的含义

• 加速度误差是指系统在加速度函数输入作用下，系统稳态输出与输入之间的位置误差
• 等价说法：0 型及Ⅰ型单位反馈系统，在稳态时都不能跟踪加速度输入；对于Ⅱ型单位反馈系统，稳态输出的加速度与输入加速度函数相同，但存在一定的稳态位置误差，其值与输入加速度信号的变化率 R 成正比，而与开环增益（静态加速度误差系数）K 成反比；对于 III 型及 III 型以上的系统，只要系统稳定，其稳态输出能准确跟踪加速度输入信号，不存在位置误差

什么是动态误差？

• “动态”两字的含义是指这种方法可以完整描述系统稳态误差随时间变化的规律

减小或消除稳态误差的措施

• 增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益，增大扰动点之后系统的前向通道增益，不能改变系统对扰动的稳态误差数值
• 在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节，扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节数之和决定系统响应扰动作用的型别，该型别与扰动作用点之后前向通道的积分环节数无关。如果在扰动作用点之前的前向通道或主反馈通道中设置 v 个积分环节，则必可消除系统在扰动信号作用下的稳态误差
• 串级控制
• 复合控制

为减小稳态误差，能够无限制增加积分环节？

• 在反馈控制系统中，设置串联积分环节或增大开环增益以消除或减小稳态误差的措施，必然导致降低系统的稳定性，甚至造成系统不稳定，从而恶化系统的动态性能

第四章：根轨迹法

什么是根轨迹？

• 它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在 S 平面上变化的轨迹

闭环零极点和开环零极点的关系

• 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益
  • 对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益
• 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成
  • 对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点
• 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 $K^{\ast }$ 均有关

根轨迹法的根本任务

• 由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点

根轨迹方程、幅值方程（条件）、相角方程（条件）

• 根轨迹方程是一个向量方程，可以用幅值方程和相角方程描述

相角条件和幅值条件、充分必要条件是谁?

• 相角条件是确定 s 平面上根轨迹的充分必要条件
• 绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的 $K^{\ast }$ 值时，才使用模值条件

180 度根轨迹基本法则

• 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。如果把有限数值的零点称为有限零点，而把无穷远处的零点叫做无限零点，那么根轨迹必终止于开环零点
• 根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点数 m 和有限极点数 n 中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴
• 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数 n 大于有限零点数 m 时，有 n-m 条根轨迹渐近线
• 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。180 度；若和为偶数，包括零，则必是 0 度根轨迹
• 两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，这里不加证明地指出当 L 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由 $(2k+1)\pi /L$ 决定，其中。显然 $L=2$ 时，分离角必为直角
• 根轨迹的起始角与终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角
• 根轨迹与虚轴的交点。零阻尼，临界稳定
• 根之和，当 $n-m\ge 2$ 时，开环根之和等于闭环根之和。在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益 K 增大时，若闭环某些根在 s 平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。常用于判断根轨迹的走向

什么是参数根轨迹?

• 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，以区别于以开环增益 K 为可变参数的常规根轨迹

等效开环传递函数中“等效”的含义

• “等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般是不同的
• 由于闭环零点对系统动态性能有影响，所以由闭环零、极点分布来分析和估算系统性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点

附加开环零点的作用

• 当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数、零点时，可使系统根轨迹向 s 左半平面方向弯曲
• 或者说，附加开环负实数零点，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强
• 如果附加的开环零点不是负实数零点，而是具有负实部的共轴零点，那么它们的作用与负实数零点的作用完全相同
• 附加开环零点的目的，除了要求改善系统稳定性而外，还要求对系统的动态性能有明显改善

零度根轨迹的来源

• 是非最小相位系统中包含 S 最高次幂的系数为负的因子
• 其二是控制系统中包含有正反馈内回路

闭环零极点与时间响应

• 时间响应分量的消逝速度，除取决于相应闭环极点的实部值外，还与该极点处的留数，即闭环零、极点之间的相互位置有关
• 所以，只有既接近虚轴，又不十分接近闭环零点的闭环极点，才可能成为主导极点
• 翻译一下：只要偶极子不十分接近坐标原点，它们对系统动态性能的影响就甚微，从而忽略他们的存在

闭环偶极子

• 如果闭环零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这一对闭环零、极点就构成了偶极子

闭环实数主导极点的作用

• 闭环实数主导极点的作用，相当于增大系统的阻尼，使峰值时间滞后，超调量下降

总结

• 稳定性：如果闭环极点全部位于 s 左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关
• 运动形式：如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的
• 超调量：超调量主要取决于闭环复数主导。并与其他闭环零、极点接近坐标原点的程度有关
• 调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值
• 实数零、极点影响：零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强
• 偶极子及其处理：如果零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑
• 主导极点：在 s 平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大 3-6 倍以上的其他闭环零、极点其影响均可忽略

第五章：频率法

什么是频域分析法？

• 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法

频率特性反映了什么？

• 控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能

频域分析的特点

• 控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行
• 频率特性物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系
• 控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求
• 频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性控制系统

什么是幅频特性，什么是相频特性，什么是频率特性

• 定义谐波输入下，输出响应与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比为幅频特性，相位之差为相频特性。并称其指数表达形式为系统的频率特性。
• 频率特性的定义既可以用于稳定系统，又可以用于不稳定系统

稳定系统的频率特性可以如何得到？

• 稳定系统的频率特性可以用实验方法确定，即在系统的输入端施加不同频率的正弦信号，然后测量系统输出的稳态响应，再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性曲线
• 频率特性也是系统数学模型的一种表示形式
• 不稳定系统的频率特性不能通过实验方法确定

频率特性的物理意义

• 稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比，而这正是频率特性的物理意义

用对数刻度和分贝数的好处

• 对数频率特性采用ω的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况

最小相位环节和非最小相位环节的对称性

• 最小相位惯性环节和非最小相位的惯性环节，其幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称；对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于 0°线对称

奈式稳定判据

• 奈氏判据基于幅角原理，通过分析开环传函在复平面上的特性来判断闭环系统的稳定性
• 选定包围右半平面的奈氏曲线，当 s 沿其运动一周时，根据 $F(s)=1+G(s)H(s)$ 绕原点的圈数 $N=P-Z$ 判断稳定性，其中 $P$ 为开环传函在右半平面的极点数，$Z$ 为闭环系统在右半平面的极点数
• 若 $Z=0$，则系统稳定

对数频率稳定判据

• 设 P 为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是：$\mathrm{\angle }G(j\omega )\ne (2k+1)\pi$，且 $L(\omega )>0$ 时，Bode 图相位穿过 $(2k+1)\pi$ 线的次数满足 $Z=P-2(N^{+}-N^{-})=0$

条件稳定系统

• 当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统
• 系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。为了表征系统的稳定程度需要引入（稳定裕度）概念

相对稳定性的概念

• 在稳定性研究中，称 $(-1,j0)$ 点为临界点，而闭合曲线相对于临界点的位置即偏离临界点的程度，反映系统的相对稳定性

相角裕度的含义

• 对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后（低），则系统将处于临界稳定状态

幅值裕度的含义

• 对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 h 倍，则系统将处于临界稳定状态。为使系统临界稳定，开环幅频特性应当减小到原来的 1/h

条件稳定系统有多个穿越频率的处理

• 对于具有两个或多个截止频率的稳定系统，相角裕度应在最高的截止频率上测量
• 此外，仅用相角裕度或幅值裕度，都不足以反映系统的稳定程度

二阶系统的截止频率，相角裕度

• 二阶系统的截止频率 ${\omega }_c$ 为无阻尼振荡频率 ${\omega }_n$ 的减函数，阻尼比 $\zeta$ 的减函数，相角裕度 $\gamma$ 只于阻尼比有关，且为阻尼比的增函数

开环增益与相角裕度的关系

• 减小开环增益 K 可以增大系统的相角裕度
• 但 K 的减小会使系统的稳态误差变大

为使得系统具有良好的过渡过程，对相角裕度的要求

• 通常要求相角裕度为 30-60°
  • 欲满足这一要求应使开环对数幅频特性在截止频率附近的斜率大于 40 dB/dec，且有一定宽度
• 幅值裕度应当大于 6 dB

闭环控制系统的频带宽度

• 当闭环幅频特性下降到零频率分量时的分贝值以下 3 分贝，对应的频率称为带宽频率
• 一阶惯性系统的带宽频率恰好为 1/T，二阶系统的带宽频率和自然频率成正比

系统的响应速度与带宽的关系

• 系统的单位阶跃响应的速度和带宽成正比
• 对于任意阶次的控制系统，这一关系仍然成立。当系统的带宽扩大 a 倍，系统的响应速度则加快 a 倍

对系统带宽频率的要求

• 对于输入端信号，带宽大，则跟踪控制信号的能力强；而在另一方面，抑制输入端高频干扰的能力则弱
• 因此系统带宽的选择在设计中应折中考虑，不能一味求大

系统闭环和开环指标的关系

• 截止频率大（开环）的系统，带宽频率也大（闭环）
• 闭环振荡性指标谐振峰值 Mr、开环指标相角裕度都可以表征系统的稳定程度，建立近似关系

系统开环指标和时域指标的关系

• 二阶系统，相角裕度是阻尼比的增函数

高阶系统的时域指标的估算

• 谐振频率越大，时间响应越快
• 对于弱阻尼系统，谐振频率和阻尼频率近似

第六章：线性系统的校正方法

基本概念

• 校正：为了改善已设计系统的动态及稳态性能，需要对系统的参数或结构进行调整和改变
• 校正装置：为了进行校正而需要增加的附加装置，称为校正装置
• 校正方式：串联校正、局部反馈校正、前馈校正、复合校正

系统带宽的选择

• 既能以所需精度跟踪输入信号(较大带宽)，又能抑制噪声扰动信号(较小带宽)
• 在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号
• 控制系统的带宽通常取 5 到 10 倍的输入信号的带宽

第七章：线性离散系统

连续和离散系统

• 如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数，则称为连续 （时间）系统
• 如果控制系统中的有一处或几处信号是一串脉冲或数码，则称为离散 （时间）系统

离散系统的分类

• 离散信号是脉冲序列形式的，称为采样控制系统或脉冲控制系统
• 离散信号是数码形式的，称数字控制系统或计算机控制系统

采样方式

• 一般来说，采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间点上取值
• 如果系统在固定时间间隔内取得离散信号，称这种采样为周期采样
• 如果离散信号间的间隔是随机的，或时变的，则称非周期采样，或随机采样

信号采样与复现

• 时间上和幅值上都连续的信号，称为模拟信号，也叫连续信号
• 时间上离散或幅值上离散，都称为离散信号，其中时间上离散而幅值上连续的信号称为离散模拟信号，也叫脉冲序列
• 把连续信号变成脉冲序列的过程，称采样过程
• 实现采样过程的装置及采样器，又称采样开关
• 采样器以 T 为周期开通和关断，就形成了一串脉冲序列
• 将这些脉冲序列变为连续信号，这个变换过程称信号复现过程，实现复现过程的装置称为保持器。保持器用于实现信号的复现。保持器是最简单的信号复现滤波器

采样系统的典型结构图

• 开环采样系统：采样器位于闭合回路之外，或者系统本身就没有闭合回路的采样系统
• 闭环采样系统：采样器位于闭合回路之内
• 在各种采样控制系统中，用得最多的就是误差采样控制系统

离散控制系统的特点

• 由数字计算机构成的数字校正装置，控制效果比连续系统好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活
• 采样信号，特别是数字信号的传递可以有效抑制噪声，从而提高系统的抗干扰能力
• 允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度
• 可用一台计算机分时控制若干系统，提高设备利用率，经济效益好
• 对于大延迟的系统，能提高系统的稳定程度

z 变换法的局限性

• z 变换建立在假定采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上，这种假定只有当采样持续时间与系统的最大时间常数相比是很小的时候，才能成立
• 输出 z 变换函数 C(z)，只确定了时间函数 c(t)在采样瞬时上的数值，不能反映 c(t)在采样间隔中的信息
• 求系统连续部分传递函数 G(s)的极点数至少要比零点数多两个

第八章：非线性控制系统

非线性控制系统概述

• 如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节，则此系统即为非线性系统

常见非线性特性及其对系统运动的影响

• 死区：执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动
  • 死区特性对系统最直接的影响是造成系统的稳态误差
  • 死区的存在相当于降低了系统的开环增益，从而提高了系统的稳定性，减弱了过渡过程的振荡性
  • 另外死区可以滤除输入端做小幅度振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干扰能力
• 饱和：放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出不再随输入线性增加，而趋于一个定值
  • 饱和特性往往促使系统稳定，但会减小系统的放大系数，降低系统的稳态精度
  • 可能使振荡减弱
  • 可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行
• 间隙：传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙。齿轮、蜗轮轴系的加工及装配误差或磁滞效应是形成间隙特性的主要原因
  • 间隙使得输出相位滞后，减小稳定裕量，动态特性变坏，引起自激振荡。所以应尽量避免或减小
• 继电：继电器、接触器和可控硅等电气元件的特性通常都表现为继电特性
• 摩擦：摩擦力阻挠系统的运动，即表现为与物体运动方向相反的制动力。分为静摩擦、动摩擦、黏性摩擦