1 利用直角坐标

1. 先 $y$ 后 $x$
   
   如果积分区域是 $X$ 型区域，如上图，积分区域能用 ${\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x),a\le x\le b$ 表示（画竖直线很容易分割），则有$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$
2. 先 $x$ 后 $y$
   
   $Y$ 型区域，${\psi }_1(x)\le y\le {\psi }_2(x),c\le y\le d$，则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(x)}^{{\psi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

题型 1：积分区域由被积函数给出

• 给分段函数
• 被积式有复合函数
• 将复合函数代入分段函数，得到被积式
• 根据不同区间对应的函数图像画出积分区域

2 利用极坐标

• 先 $r$ 后 $\theta$
  区域 $D$ 可以用从原点出发的射线切割 $r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta ),\alpha \le \theta \le \beta$，则有$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\mathrm{d}r$$

适合用极坐标的二重积分的特征：

• 被积函数要符合 ——最基本( fundamental )的要求

  $$f(\sqrt{x^2+y^2}),f({\displaystyle \frac{y}{x}}),f({\displaystyle \frac{x}{y}})$$

• 积分区域（圆域、环域、偏心圆） 比如：

  $$x^2+y^2\le R,r\le x^2+y^2\le R,x^2+y^2\le 2ax,x^2+y^2\le 2by$$

题型：一般参数方程

对于参数方程给出的积分区域，比如摆线，可以进行换元换成参数变量 $t$，可能更好算

• 首先要对参数 $t$ 求导得 $x_t^{\prime },y_t^{\prime }$，后面画图和换元都用得上
• 然后画出积分区域（不知道区域的话可以先考察 $x,y$ 对 $t$ 的单调性，一般 $x_t^{\prime }>0$）
• 在直角坐标系下计算一层二重积分，以摆线为例：
  • 先积 $y$，下限为 $0$，上限为 $y(x)$ ——一个函数
  • 后积 $x$，下限为 $0$，上限为 $2\pi a$（根据参数范围确定）
• 最后用参数方程换元，这时候之前的求导就有用了（$\mathrm{d}x=x_t^{\prime }\mathrm{d}t$），记得换元变上下限

3 利用对称性和奇偶性

1. 两个条件
   1. 区域有对称性
   2. 函数有奇偶性
2. 区域关于 $y$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $x$ 有奇偶性，则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\{\begin{array}{lll}2\underset{D_x\ge 0}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,& & f(-x,y)=f(x,y)\\ \\ 0,& & f(-x,y)=-f(x,y)\end{array}$$
3. 区域关于 $x$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $y$ 有奇偶性，则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\{\begin{array}{lll}2\underset{D_y\ge 0}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,& & f(x,-y)=f(x,y)\\ \\ 0,& & f(x,-y)=-f(x,y)\end{array}$$

补充：奇偶性平移——本质上是换元法

1. 最原始的奇函数积分：${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$，区间关于 $0$ 对称
2. 可以将其奇偶性平移到 $x_0$ 点：${\int }_{x_0-a}^{x_0+a}f(x+x_0)\mathrm{d}x=0$，如果用 $t=x+x_0$ 换元，就可以变回上边的积分
   • 例如：$${\int }_{-1}^{1}x\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=0\Rightarrow {\int }_0^2(x-1)\sqrt{1-(x-1{)}^2}\mathrm{d}x=0$$右移 $1$ 个单位，变量 $-1$
   • 可见奇偶性平移也满足“左加右减”原则，左右针对平移方向，加减针对积分变量 $x$
3. 还有一种是直接对被积式变形，而积分区间不变（注意区间中点）

4 利用变量对称性

• 同时交换被积函数和积分区域的两变量，积分值不变——即对调 $f(x,y)$ 和 $D_{(x,y)}$ 的 $x,y$，二重积分不变，类似于定积分中与积分记号无关的性质
• 如果积分区域关于直线 $y=x$ 对称，只将被积函数 $f(x,y)$ 中的 $x$ 和 $y$ 对调，积分值也不变，即$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }f(y,x)\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}\underset{D}{\iint }[f(x,y)+f(y,x)]\mathrm{d}\sigma$$特别地，$$\underset{D}{\iint }f(x)\mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }f(y)\mathrm{d}\sigma$$

5 交换积分次序

1. 基本步骤

   • 首先画出区域
   • 再按另一种积分次序定积分的上下限

2. 极坐标积分序

   • 先 $r$ 后 $\theta$：先作从原点出发的 射线 $\theta =C$，根据射线穿过的边界定 $r$ 的上下限——最经典
   $$\int \mathrm{d}\theta \int f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\mathrm{d}r$$
   • 先 $\theta$ 后 $r$（：先作以原点为圆心的 圆弧 $r=C$，根据弧穿过边界时的角定 $\theta$ 的上下限——少见
   $$\int \mathrm{d}r\int f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\mathrm{d}\theta$$
   • 也可以 $\theta$ 为横轴，$r$ 为纵轴，直接在一个直角坐标系中画出图像

6 应用

1. 面积

2. 质量 ——需要密度函数 $\rho (x,y)$

3. 质心

4. 转动惯量 ——绕 $x$ 轴转动