二重积分的计算

#笔记 #高数 #重点

1 利用直角坐标

平行谁，先积谁

先 $y$ 后 $x$

如果积分区域是 $X$ 型区域，如上图，积分区域能用 $φ_{1} (x) \leq y \leq φ_{2} (x), a \leq x \leq b$ 表示（画竖直线很容易分割），则有 $$\iint\limits_{D} f(x,y){\rm d}\sigma = \int_a^b {\rm d}x \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) {\rm d}y$$
先 $x$ 后 $y$

$Y$ 型区域， $ψ_{1} (x) \leq y \leq ψ_{2} (x), c \leq y \leq d$ ，则 $$\iint\limits_{D} f(x,y){\rm d}\sigma = \int_c^d {\rm d}y \int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)} f(x,y) {\rm d}x$$

2 利用极坐标

先 $r$ 后 $θ$
区域 $D$ 可以用从原点出发的射线切割 $r_{1} (θ) \leq r \leq r_{2} (θ), α \leq θ \leq β$ ，则有 $$\iint\limits_{D} f(x,y){\rm d}\sigma = \int_{\alpha}^{\beta} {\rm d}\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r {\rm d}r$$

注意：变成极坐标要

r d r

适合用极坐标的二重积分的特征：
- 被积函数要符合 $$f(\sqrt{x^2+y^2}),\quad f(\dfrac yx),\quad f(\dfrac xy)$$

最基本的要求是被积函数一定要适合

积分区域（圆域、环域、偏心圆）比如：$$x^2+y^2\le R,\quad r\le x^2+y^2\le R,\quad x^2+y^2\le 2ax,\quad x^2+y^2\le 2by$$

对于一般圆：

先将圆心 $(x_{0}, y_{0})$ 平移到原点，再用极坐标
即坐标变换 $$\begin{cases} x-x_0=r\cos\theta \ \ y-y_0=r\sin\theta \end{cases}$$

3 利用对称性和奇偶性

两个条件
1. 区域有对称性
2. 函数有奇偶性
区域关于 $y$ 轴对称， $f (x, y)$ 关于 $x$ 有奇偶性，则 $$\iint\limits_{D} f(x,y){\rm d}\sigma = \begin{cases} 2\iint\limits_{D_x\ge0} f(x,y){\rm d}\sigma, &&f(-x,y)=f(x,y)\ \ 0, &&f(-x,y)=-f(x,y) \end{cases}$$
区域关于 $x$ 轴对称， $f (x, y)$ 关于 $y$ 有奇偶性，则 $$\iint\limits_{D} f(x,y){\rm d}\sigma = \begin{cases} 2\iint\limits_{D_y\ge0} f(x,y){\rm d}\sigma, &&f(x,-y)=f(x,y)\ \ 0, &&f(x,-y)=-f(x,y) \end{cases}$$

偶函数就分一半积，奇函数直接为0

补充：奇偶性平移——本质上是换元法

最原始的奇函数积分： $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$ ，区间关于 $0$ 对称
可以将其奇偶性平移到 $x_{0}$ 点： $\int_{x_{0} - a}^{x_{0} + a} f (x + x_{0}) d x = 0$ ，如果用 $t = x + x_{0}$ 换元，就可以变回上边的积分
- 例如：$$\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2} {\rm d}x = 0\ \Rightarrow\ \int_{0}^{2} (x-1)\sqrt{1-(x-1)^2} {\rm d}x = 0$$ 右移 $1$ 个单位，变量 $- 1$
- 可见奇偶性平移也满足“左加右减”原则，左右针对平移方向，加减针对积分变量 $x$
还有一种是直接对被积式变形，而积分区间不变（注意区间中点）

4 利用变量对称性

同时交换被积函数和积分区域的两变量，积分值不变——即对调 $f (x, y)$ 和 $D_{(x, y)}$ 的 $x, y$ ，二重积分不变，类似于定积分中与积分记号无关的性质
如果积分区域关于直线 $y = x$ 对称，只将被积函数 $f (x, y)$ 中的 $x$ 和 $y$ 对调，积分值也不变，即 $$\iint\limits_{D} f(x,y){\rm d}\sigma =\iint\limits_{D} f(y,x){\rm d}\sigma =\frac 1 2 \iint\limits_{D} [f(x,y)+f(y,x)]{\rm d}\sigma$$ 特别地，$$\iint\limits_{D} f(x){\rm d}\sigma=\iint\limits_{D} f(y){\rm d}\sigma$$