不定积分

1 性质

原函数的存在性

连续必有原函数
若存在第一类间断点，则没有原函数

不定积分的性质

$(\int f (x) d x)^{'} = f (x)$
$d (\int f (x) d x) = f (x) d x$
$\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$
$\int d f (x) = f (x) + C$
$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$
$\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

2 计算

不定积分记得

+ C

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基本积分公式

三种主要积分法

第一类换元法（凑微分）

\int f (φ (x)) φ^{'} (x) d x = \int f (φ (x)) d φ (x) = F (φ (x)) + C

第二类换元法

将 $x$ 换成 $t$ 的函数，一般可以消去不好积的部分，最后再用反函数的方式把结果换回 $x$ 的函数

\int f (x) d x = \int f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = F (φ^{- 1} (x)) + C

三种常用变量代换（三角代换）：
1. 被积函数有 $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ ，令 $x = a \sin t$ 或 $x = a \cos t$
2. 被积函数有 $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ ，令 $x = a \tan t$
3. 被积函数有 $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$ ，令 $x = a \sec t$

如果被积式包含

\sqrt{a x^{2} + b x + c}

，可以尝试凑平方和/差

一般会再做一次代换把 $φ (x)$ 换成 $t$
- $\sqrt{k^{2} - φ^{2} (x)}$
- $\sqrt{k^{2} + φ^{2} (x)}$
- $\sqrt{φ^{2} (x) - k^{2}}$

倒代换
- 当被积式分母比分子高 2 次以上时，可以考虑倒代换
- 令 $x = \frac{1}{t}$
区间再现
- $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - t) d t$ ，经过的变换是 $x = a + b - t$
- 特点：变换前后积分区间不变，可以与源积分式结合，简化被积式（求和、作差，消去不好求的部分）
- 适用：原函数不好求的积分（比如分母是指数函数多项式）、出现“上限+下限-积分变量”的形式

分部积分法

\int u d v = u v - \int v d u

常用于：被积函数是两类不同函数相乘的不定积分
对于 $\int u v d x$ ， $u, v$ 的选择有口诀：“uv 反对幂三/指”
🐙老师的分部积分表格法
- 上 $u$ 求导，下 $v$ 积分
- 错位相乘，正负交叉

表格法的特殊情况

带三角函数等需要还原成积分形式，不然会一直循环
怎么还原：表格最后一列相乘，符号与上一个相反
- 比如剩下 $a (x), b (x)$ ，上一个相乘要负号-
- 还原成 $+ \int a (x) b (x) d x$

有理函数积分

一般方法（部分分式法）

有理假分式——先用多项式除法化为真分式
真分式的拆分：留数法

特殊方法

加项减项拆项、凑微分降幂

三角有理式积分

一般方法（万能代换）

令 $\tan \frac{x}{2} = t$ ，$$\int, R(\sin x,\cos x) {\rm d}x=\int, R(\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{1-t^2}{1+t^2})\dfrac{2}{1+t^2} {\rm d}t$$

万能代换，也叫万不得已才用的代换

特殊方法（三角变形，换元，分部）

常用换元法

若 $R (- \sin x, \cos x) = - R (\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \cos x$ ——对 $\sin x$ 是奇函数，凑 $d \cos x$
若 $R (\sin x, - \cos x) = - R (\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \sin x$ ——对 $\cos x$ 是奇函数，凑 $d \sin x$
若 $R (- \sin x, - \cos x) = R (\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \tan x$ ——对 $\sin \cos$ 都是偶函数，凑 $d \tan x$

sin, cos 线性组合的题目

一般方法：$$\text{令} \int, \dfrac{k\sin x+l\cos x}{m\sin x+n\cos x} {\rm d}x = \int, \dfrac{A(m\cos x-n\sin x)+B(m\sin x+n\cos x)}{m\sin x+n\cos x} {\rm d}x$$ 其中 A 部分是分母的导数，B 部分则是分母本身；需要对比等号两边分子的系数，解出 AB

实际上是使用了加项减项拆的方法，使得后续的式子可以凑分母的微分