不定积分

1 性质

不定积分记得

+ C

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\int f (φ (x)) φ^{'} (x) d x = \int f (φ (x)) d φ (x) = F (φ (x)) + C

将 $x$ 换成 $t$ 的函数，一般可以消去不好积的部分，最后再用反函数的方式把结果换回 $x$ 的函数

\int f (x) d x = \int f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = F (φ^{- 1} (x)) + C

三种常用变量代换（三角代换）：
1. 被积函数有 $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ ，令 $x = a \sin t$ 或 $x = a \cos t$
2. 被积函数有 $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ ，令 $x = a \tan t$
3. 被积函数有 $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$ ，令 $x = a \sec t$

如果被积式包含

\sqrt{a x^{2} + b x + c}

，可以尝试凑平方和/差

一般会再做一次代换把 $φ (x)$ 换成 $t$
- $\sqrt{k^{2} - φ^{2} (x)}$
- $\sqrt{k^{2} + φ^{2} (x)}$
- $\sqrt{φ^{2} (x) - k^{2}}$

倒代换
- 当被积式分母比分子高 2 次以上时，可以考虑倒代换（指数最好都 $\geq 2$ ，但分母次数高很多可无视这个限制，形如 $\int \frac{1}{x^{m} (x^{n} + a)} d x$ ），目标/效果是形成能凑分母微分的项，或给分母降幂
- 注意：进行倒代换可能会导致定义域缺失
- 令 $x = \frac{1}{t}$

\int u d v = u v - \int v d u

表格法的特殊情况

带三角函数等需要还原成积分形式，不然会一直循环
怎么还原：表格最后一列相乘，符号与上一个相反
- 比如剩下 $a (x), b (x)$ ，上一个相乘要负号-
- 还原成 $+ \int a (x) b (x) d x$

加项减项拆、凑微分降幂

特殊加项减项拆

$\int \frac{1}{1 + x^{4}} d x = \frac{1}{2} (\int \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}} d x + \int \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{4}} d x) = \frac{1}{2} (\int \frac{\frac{1}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + x^{2}} d x + \int \frac{\frac{1}{x^{2}} - 1}{\frac{1}{x^{2}} + x^{2}} d x)$

令 $\tan \frac{x}{2} = t$ ，

\int R (\sin x, \cos x) d x = \int R (\frac{2 t}{1 + t^{2}}, \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}) \frac{2}{1 + t^{2}} d t

万能代换，也叫万不得已才用的代换

常用换元法

若 $R (- \sin x, \cos x) = - R (\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \cos x$ ——对 $\sin x$ 是奇函数，凑 $d \cos x$
若 $R (\sin x, - \cos x) = - R (\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \sin x$ ——对 $\cos x$ 是奇函数，凑 $d \sin x$
若 $R (- \sin x, - \cos x) = R (\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \tan x$ ——对 $\sin \cos$ 都是偶函数，凑 $d \tan x$

一般方法：

令 \int \frac{k \sin x + l \cos x}{m \sin x + n \cos x} d x = \int \frac{A (m \cos x - n \sin x) + B (m \sin x + n \cos x)}{m \sin x + n \cos x} d x $ $ 其 中 A 部 分 是 分 母 的 导 数 ， B 部 分 则 是 分 母 本 身 ； * * 需 要 对 比 等 号 两 边 分 子 的 系 数 ， 解 出 A B * * - 实 际 上 是 使 用 了 * * 加 项 减 项 拆 * * 的 方 法 ， 使 得 后 续 的 式 子 可 以 凑 分 母 的 微 分