函数基本性质

#笔记 #高数

1 函数基础性质

基本初等函数

幂函数 $x^{n}$
指数函数 $e^{x}$
对数函数 $\ln x$
三角函数 $\sin x, \cos x, \tan x$ 、反三角函数 $\arcsin x, \dots$

初等函数

常数和五类基本初等函数构成
进行的加减乘除以及复合（比如 $\ln (\sin x)$ ）
所得到的用一个解析式表达的函数（分段函数不算）

反函数与复合函数（恒等映射）

情况一： $f^{- 1} [f (x)] = x$
情况二： $f [f^{- 1} (x)] = x$

奇偶性

判别：最经典的方法
- 常见奇函数 $$
  \sin x,\ \tan x,\ \arcsin x,\ \arctan x,\quad \ln\frac{1-x}{1+x},\quad {\ln(x+\sqrt{1+x^2})},\quad \frac{e^x-1}{e^x+1},\quad f(x)-f(-x)

- * * 常 见 偶 函 数 * *

x^2,\quad |x|,\quad \cos x,\quad f(x)+f(-x)

- **运算规则**： - 奇函数 + 奇函数 = **奇函数** - 偶函数 + 偶函数 = 偶函数 - 奇函数 + 偶函数 = **非奇非偶** - 奇函数 × 奇函数 = **偶函数** - 偶函数 × 偶函数 = 偶函数 - 奇函数 × 偶函数 = 奇函数 - **复合函数**： - 内奇外同，内偶则偶 - 内函数是奇函数，则复合函数得奇偶性和外函数相同 - 内函数是偶函数，则复合函数是偶函数 - **导数关系**：（反演） - 奇函数的导函数——偶函数 - 偶函数的导函数——奇函数 - **原函数**： - 连续的奇函数，其原函数都是偶函数 - 连续的偶函数，其原函数有且只有一个是奇函数（$C=0$） ## 周期性 ### 判定 1. 用定义 2. **可导**的周期函数，其**导数**为周期函数 3. 周期函数的**原函数**不一定是周期函数（比如 $\cos x+1$ 是周期函数，它的一个原函数 $\sin x+x$ 就不是周期函数） ### 三角函数 - $\sin x,\ \cos x$ 周期为 $2\pi$ - $\sin 2x,\ |\sin x|$ 周期为 $\pi$ ### 抽象函数 若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $f(ax+b)$ 将以 $\frac{T}{|a|}$ 为周期（尺度变换） > [!note] 周期函数的变上限积分函数 > 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数，则： > - $F(x)=\int_0^x\, f(t) \,\rm{d}t$ 是以 $T$ 为周期的函数 $\Longleftrightarrow\ \int_0^T\, f(x) \,\rm{d}x=0$ > - 即，周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分等于 0（可以用这一点去证明周期函数）