数学基础

1 基本复变函数

复数的表示
- 一般形式： $z = α + j β$ ——点、向量
- 极坐标： $z = r (\cos ω + j \sin ω)$ ——三角函数
- 指数： $z = r \cdot e^{j ω}$
模和相角（幅值和相角、幅角）
- 幅值 $r = \sqrt{α^{2} + β^{2}}$
- 相角 $ω$ ，可以取无穷多个值，只有满足 $- π < ω < π$ 的才是主值，表达式随复数所在象限而变：

∠ (z) = {\begin{cases} \arctan \frac{β}{α} & α > 0, β \in R \\ \pm \frac{π}{2} & α = 0, β \neq 0 \\ \arctan \frac{β}{α} \pm \frac{π}{2} & α < 0, β \neq 0 \\ π & α < 0, β = 0 \end{cases}

欧拉公式
- ${\begin{cases} e^{j ω} & = \cos ω + j \sin ω \\ e^{- j ω} & = \cos ω - j \sin ω \end{cases}$
复数的运算：设 $z_{1} = r_{1} e^{j ω_{1}}, z_{2} = r_{1} e^{j ω_{2}}$
- 乘法： $z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} \cdot e^{j (ω_{1} + ω_{2})}$
- 除法： $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{j (ω_{1} - ω_{2})}$
- 乘方： $z^{n} = r^{n} \cdot e^{j ω n} = r^{n} (\cos n ω + j \sin n ω)$
- 开方： $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{j \frac{ω}{n}} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{ω}{n} + j \sin \frac{ω}{n})$

拉氏变换可以将复杂的线性常微分方程求解问题转换成复变量 $s$ 的代数方程求解问题
- 正变换： $F (s) = L [f (t)] = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t$
- 反变换： $f (t) = L^{- 1} [F (s)] = \frac{1}{j 2 π} \int_{c - j \infty}^{c + j \infty} F (s) e^{s t} d s$
- 其中 $e^{- s t}$ 称为拉氏变换的“收敛因子”，在后边的 Z 变换也会经常遇到；逆变换了解一下公式，不会手撕

线性：
$a f_{1} (t) + b f_{2} (t) ⟷ a F_{1} (s) + b F_{2} (s)$
时移：
$f (t - τ_{0}) 1 (t - τ_{0}) ⟷ e^{- τ_{0} s} F (s) (τ_{0} > 0)$
尺度变换（相似性）：
$f (a t) ⟷ \frac{1}{a} F (\frac{s}{a}) (a > 0)$
频移：（观察指数函数与单位阶跃函数）
$e^{- a t} f (t) ⟷ F (s + a)$
时域微分：
$\begin{aligned} f^{(n)} (t) & ⟷ s^{n} F (s) - s^{n - 1} f (0^{-}) - s^{n - 2} f^{'} (0^{-}) - \dots - f^{(n - 1)} (0^{-}) \\ f^{'} (t) & ⟷ s F (s) - f (0^{-}) \\ f^{″} (t) & ⟷ s^{2} F (s) - s f (0^{-}) - f^{'} (0^{-}) \\ f^{‴} (t) & ⟷ s^{3} F (s) - s^{2} f (0^{-}) - s f^{'} (0^{-}) - f^{″} (0^{-}) \end{aligned}$
时域积分：
$\int_{0}^{t} f (t) d t ⟷ \frac{1}{s} F (s)$
$s$ 域微分：（时域乘 $- t$ ）
$- t f (t) ⟷ \frac{d}{d s} F (s)$
$s$ 域积分：（时域除 $t$ ）
$\frac{1}{t} f (t) ⟷ \int_{s}^{\infty} F (η) d η$
初值定理：
$lim_{t \to 0^{+}} f (t) = lim_{s \to \infty} s F (s)$
终值定理：
$lim_{t \to + \infty} f (t) = lim_{s \to 0} s F (s)$
卷积定理：
$f_{1} (t) * f_{2} (t) ⟷ F_{1} (s) \cdot F_{2} (s)$

给定阶跃响应求传函，上面的做法是错误的！

结论：直接用拉氏变换求即可，属于送分题
题目所给的时间响应函数并不是“全响应”，而是零状态响应，除非题目给了 $t = 0^{-}$ 的初始条件
此时要联系《信号与系统》，零状态响应是系统微分方程非齐次方程的解，而零输入响应是齐次方程的解；而求这个非齐次方程的解需要初始状态，因为这个系统是具体的系统，不能存在任意常数
东大应该不会考这么花哨的题目，万一考到了要学会联系高数微分方程那块的知识
求零状态响应初始状态的方法是：对微分方程中每个函数项都从 0-到 0+积分，用牛顿-莱布尼兹公式，注意原函数的积分都是 0，特别注意冲激函数（因为冲激函数在 0 处的积分是 1）

《信号与系统》例题

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注意：关于二端口网络建模