1 概念

• $m\times n$ 个数构成的 $m$ 行 $n$ 列的表格
• $m=n$ 时，称 $n$ 阶矩阵或者方阵

2 类型

1. 零矩阵 $O$：所有元素都是 0 的矩阵
2. 方阵
   1. 上三角、下三角矩阵
   2. 对角矩阵 $\mathrm{\Lambda }$
      • 数量矩阵：主对角线上有不为 0 的元素，其他都是 0
      • 单位阵 $E$：主对角线元素全为 1，其他都是 0
   3. 对称矩阵：元素关于主对角线对称
3. 行阶梯形、行最简形矩阵
   • 满足以下两个条件的矩阵是行阶梯形矩阵：
     1. 非零行在零行的上面
     2. 非零行的第一个非零元素的位置在上一个非零行的右边 $$\begin{bmatrix} 1 &1 &-2 &1 \ 0 &1 &-1 &1 \ 0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$$
   • 行最简形，特殊的行阶梯形：
     1. 非零行第一个元素是 1
     2. 第一个非零元素所在列只有一个 1，其他都是 0 $$\begin{bmatrix} 1 &0 &-2 &1 \ 0 &1 &-1 &1 \ 0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$$

3 运算

• 相等：$A=B$，每个元素都相等
• 加减：$A\pm B$，每个元素相加减
• 数乘：$kA$，每个元素都乘以 $k$
• 转置：$A^T$，行变列，列变行
• 矩阵乘法：$AB=C$
  • 左边的第 $i$ 整行和右边的第 $j$ 整列对应相乘相加，得到结果第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $c_{ij}$
  • 条件和结果的大小：$A_{m\times n}\times B_{n\times s}=C_{m\times s}$ ——中间相等，取两头
  • 向量的内积

性质

1. 加法和数乘
   1. 交换律：$A+B=B+A$
   2. 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$
   3. $A+O=A$
   4. $A+(-A)=O$
   5. $1A=A$
   6. $k(lA)=(kl)A$
   7. $k(A+B)=kA+kB$
   8. $(k+l)A=kA+lA$
2. 乘法
   1. 结合律：$ABC=(AB)C$
   2. 分配律：$A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC$
   3. $(kA)(lB)=klAB$
   4. $AE=A,EA=A$
   5. $OA=O,AO=O$

3. 转置的性质和逆的性质一起看

4 矩阵分块

定义

• 将矩阵分割为小矩阵

运算

• 加法 $$\begin{bmatrix} A_1 &A_2\ A_3 &A_4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} B_1 &B_2\ B_3 &B_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_1+B_1 &A_2+B_2\ A_3+B_3 &A_4+B_4 \end{bmatrix}$$
• 乘法 $$\begin{bmatrix} A &B\ C &D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X &Y\ Z &W \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} AX+BZ &AY+BW\ CX+DZ &CY+DW \end{bmatrix}$$
• 转置——副对角线交换，写上转置 $$\begin{bmatrix} A &B\ C &D \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} A^T &C^T\ B^T &D^T \end{bmatrix}$$
  • 拼接矩阵的转置： $(A,B{)}^T=\left(\begin{array}{c}{A}^T\\ B^T\end{array}\right)$
• 乘方 $$\begin{bmatrix} B &O\ O &C \end{bmatrix}^k=\begin{bmatrix} B^k &O\ O &C^k \end{bmatrix}$$

常见分块

1. 列分块：把矩阵的每一列组合成一个个向量，由这些向量组成新向量（矩阵是向量的向量）

   • 常见用法：$A_{m\times n}\times B_{n\times s}=C_{m\times s}$，对 $B,C$ 进行列分块有 $$AB=A(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)=C=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s)$$
   • 也可以对 $A,C$ 进行列分块

2. 方阵分块

   • 拉普拉斯行列式
   • 若 $B,C$ 分别是 $m,n$ 阶可逆矩阵，则 $$\begin{bmatrix} B &O\ O &C \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} B^{-1} &O\ O &C^{-1} \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} O &B\ C &O \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} O &C^{-1}\ B^{-1} &O \end{bmatrix}$$