1 概念

• $m\times n$ 个数构成的 $m$ 行 $n$ 列的表格
• $m=n$ 时，称 $n$ 阶矩阵或者方阵

2 类型

1. 零矩阵 $O$：所有元素都是 0 的矩阵
2. 方阵
   1. 上三角、下三角矩阵
   2. 对角矩阵 $\mathrm{\Lambda }$
      • 数量矩阵：主对角线上有不为 0 的元素，其他都是 0
      • 单位阵 $E$：主对角线元素全为 1，其他都是 0
   3. 对称矩阵：元素关于主对角线对称
3. 行阶梯形、行最简形矩阵
   • 满足以下两个条件的矩阵是行阶梯形矩阵：
     1. 非零行在零行的上面
     2. 非零行的第一个非零元素的位置在上一个非零行的右边$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 1\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   • 行最简形，特殊的行阶梯形：
     1. 非零行第一个元素是 1
     2. 第一个非零元素所在列只有一个 1，其他都是 0$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

3 运算

• 相等：$A=B$，每个元素都相等
• 加减：$A\pm B$，每个元素相加减
• 数乘：$kA$，每个元素都乘以 $k$
• 转置：$A^T$，行变列，列变行
• 矩阵乘法：$AB=C$
  • 左边的第 $i$ 整行和右边的第 $j$ 整列对应相乘相加，得到结果第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $c_{ij}$
  • 条件和结果的大小：$A_{m\times n}\times B_{n\times s}=C_{m\times s}$ ——中间相等，取两头
  • 向量的内积

性质

1. 加法和数乘
   1. 交换律：$A+B=B+A$
   2. 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$
   3. $A+O=A$
   4. $A+(-A)=O$
   5. $1A=A$
   6. $k(lA)=(kl)A$
   7. $k(A+B)=kA+kB$
   8. $(k+l)A=kA+lA$
2. 乘法
   1. 结合律：$ABC=(AB)C$
   2. 分配律：$A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC$
   3. $(kA)(lB)=klAB$
   4. $AE=A,EA=A$
   5. $OA=O,AO=O$

3. 转置的性质和逆的性质一起看

4 矩阵分块

定义

• 将矩阵分割为小矩阵

运算

• 加法$$\left[\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_1+B_1& A_2+B_2\\ A_3+B_3& A_4+B_4\end{array}\right]$$
• 乘法$$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}AX+BZ& AY+BW\\ CX+DZ& CY+DW\end{array}\right]$$
• 转置——副对角线交换，写上转置$${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}{A}^T& C^T\\ B^T& D^T\end{array}\right]$$
  • 拼接矩阵的转置： $(A,B{)}^T=\left(\begin{array}{c}{A}^T\\ B^T\end{array}\right)$
• 乘方$${\left[\begin{array}{cc}B& O\\ O& C\end{array}\right]}^k=\left[\begin{array}{cc}{B}^k& O\\ O& C^k\end{array}\right]$$

常见分块

1. 列分块：把矩阵的每一列组合成一个个向量，由这些向量组成新向量（矩阵是向量的向量）

   • 常见用法：$A_{m\times n}\times B_{n\times s}=C_{m\times s}$，对 $B,C$ 进行列分块有$$AB=A({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s)=C=({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_s)$$
   • 也可以对 $A,C$ 进行列分块

2. 方阵分块

   • 拉普拉斯行列式
   • 若 $B,C$ 分别是 $m,n$ 阶可逆矩阵，则$${\left[\begin{array}{cc}B& O\\ O& C\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{B}^{-1}& O\\ O& C^{-1}\end{array}\right],{\left[\begin{array}{cc}O& B\\ C& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& C^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right]$$