1 概念

1. 二次型

   • 只有二次项的 $n$ 元二次函数 $$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^{\rm T}Ax$$
   • 其中 $A$ 是实对称阵，称为二次型的矩阵
   • $r(A)$ 为二次型的秩

2. 二次型的矩阵表示

2 标准形、规范形

定义

1. 标准形：只含有平方项，没有混合项

2. 规范形：在标准形中，平方项的系数只有 $1,-1,0$ 三种，且按这一顺序排列

- 正平方项的个数 $p$ 称为正惯性指数，负平方项的个数 $q$ 称为负惯性指数
- 规范形的系数可由 $A$ 的特征值的符号确定

化二次型为标准形

原理：“一一对应”的换元法

（坐标变换）令 $x=Cy$，矩阵 $C$ 可逆（可视为方程组有唯一解）

• 二次型 $f=x^{\mathrm{T}}Ax=y^{\mathrm{T}}{C}^{\mathrm{T}}ACy$，若能使 $C^{\mathrm{T}}AC=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(k_1,k_2,\cdots ,k_n)=\mathrm{\Lambda }$
• 则有二次型 $f=y^{\mathrm{T}}\mathrm{\Lambda }y=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdots +k_n{y}_n^2$

方法

1. 正交化法
   由于二次型 $f=x^{\mathrm{T}}Ax$ 的矩阵 $A$ 是实对称矩阵，故必有正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)=\mathrm{\Lambda }$，此时令 $x=Qy$，则可得 $f={\lambda }_1{x}_1^2+{\lambda }_2{x}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2$

   1. 写出二次型矩阵 $A$
   2. 写出正交矩阵 $Q$ ——一般不要求写出求解 $Q$ 的过程，不然其他小问写不下了
   3. 写“令 $x=Qy$，二次型可化为标准形...”

2. 配方法

   1. 原二次型有平方项——凑出完全平方项
      注意凑出完全平方项后，需要反过来用 $y$ 表示 $x$，得到坐标变换表达式 $x=Cy$，最后才下结论

      • 比如得到 $f=(x_1+x_2-2x_3{)}^2+2(x_2+x_3{)}^2-3x_3^2$
      • 令 $\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+x_2-2x_3\\ y_2=x_2+x_3\\ y_3=x_3\end{array}$
      • 即经过坐标变换 $\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2+3y_3\\ x_2=y_2-y_3\\ x_3=y_3\end{array}$
      • 则有 $f=y_1^2+2y_2^2-3y_3^2$

   2. 没有平方项——两次变换

      • 第一次，用平方差创造平方项 $x\to y$
      • 第二次，配方法变换 $y\to z$
      • 最后的结论是 $x=Cz=C_1{C}_{2}z$

3 正定二次型

定义

若任意非零向量 $x$，都能使二次型 $$f=x^{\rm T}Ax>0$$ 则二次型正定，矩阵 $A$ 为正定矩阵

• 或者，$f=x^{\mathrm{T}}Ax\ge 0$，当且仅当 $x=0$ 时 $f=0$，其他情况都是 $f>0$

判断

可以用定义法（比较难），或者：

1. （充要）$A$ 的特征值全部为正数 / 正惯性指数 $p=n$
2. （充要）$A\text{与单位阵 E 合同}$ ——存在可逆矩阵 $C$ 使 $A=C^{\mathrm{T}}C$
3. $f=x^{\mathrm{T}}Ax$ 正定 $⟺$ $A$ 的所有顺序主子式 $>0$（希尔维斯特判据）
4. $A$ 正定 $\Rightarrow$ 主对角线元素都 $>0$