定积分

1 概念和几何意义

概念

定积分表示一个数值（跟行列式一样），取决于积分区间 $[a, b]$ 和被积函数 $f (x)$ ，与积分变量无关
可以用定积分的定义来求数列极限

几何意义

定义“负面积”
定积分的值就是曲线 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 内图形正面积和负面积的叠加

2 可积性

必要条件

若 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 存在，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有界——可积一定有界

充分条件

连续一定可积，但可积不一定连续
有界且只有有限个间断点，可积
只有有限个第一类间断点，可积

3 定积分计算

牛顿-莱布尼兹公式

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

换元积分法

设 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x = φ (t)$ 满足条件：

$φ (α) = a, φ (β) = b$
$φ (t)$ 在 $[α, β]$ 上具有连续导数，且值域 $R_{φ} = [a, b]$
则有

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t

换：被积式+积分区间

“区间再现”法
- $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - t) d t$ ，经过的变换是 $x = a + b - t$
- 特点：变换前后积分区间不变，可以与源积分式结合，简化被积式（求和、作差，消去不好求的部分）
- 适用：①原函数不好求的积分（比如分母是一堆指数函数的多项式） ②出现“上限+下限-积分变量”的形式

分部积分法

\int_{a}^{b} u d v = u v |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u

利用奇偶性和周期性

关于 0 对称的区间

\int_{- a}^{a} f (x) d x = {\begin{cases} 0, & f (x) 为奇函数 \\ 2 \int_{0}^{a} f (x) d x, & f (x) 为偶函数 \end{cases}

关于

a

对称的区间——奇偶性的平移

平移的奇函数： $f (- x + a) = - f (x + a)$
平移的偶函数： $f (- x + a) = f (x + a)$

周期为 $T$ 的函数有

\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x

- 即，在一个周期长度上的积分是一定的

利用公式

点火公式

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x = {\begin{cases} \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \dots \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}, & n 为偶数 \\ \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \dots \frac{2}{3}, & n 为大于1的奇数 \end{cases}

- 点火顺序：（分式）下上下上，54321
- 分子能数到 1 就是点火成功，乘一个 $\frac{π}{2}$ ；癫火失败就不乘
- n 为偶数，能点火成功；n 为奇数，最多数到 2

点火公式：积分区间的拓展

扩大 $\frac{π}{2}$ 的整数倍
$\int_{0}^{2 π} \cos^{n} x d x = \int_{0}^{2 π} \sin^{n} x d x = {\begin{cases} 0, & n 为奇数 \\ 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x, & n 为偶数 \end{cases}$
$\int_{0}^{π} \cos^{n} x d x = {\begin{cases} 0, & n 为奇数 \\ 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x, & n 为偶数 \end{cases}$
$\int_{0}^{π} \sin^{n} x d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} x d x$

$\sin$ 的函数，且多了个 $x$ ：

\int_{0}^{π} x f (\sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (\sin x) d x

利用定积分的定义（圆），要善于观察被积式
1. $(0, 0), R = a$ ： $\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{π}{4} a^{2}$
2. 偏心圆 $(a, 0)$ ： $\int_{0}^{a} \sqrt{2 a x - x^{2}} d x = \frac{π}{4} a^{2}$
3. 偏心圆 $(a, 0)$ ： $\int_{0}^{2 a} \sqrt{2 a x - x^{2}} d x = \frac{π}{2} a^{2}$

4 变上限积分

特点

变上限积分 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ 是一个函数，可以记作 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$
定理：被积函数连续，变上限积分可导

{[\int_{a}^{x} f (t) d t]}^{'} = f (x)

可见变上限积分是被积函数的一个原函数

求导

这条最经典，熟记 —— “上减下”

{[\int_{A (x)}^{B (x)} f (t) d t]}^{'} = f (B (x)) \cdot B^{'} (x) - f (A (x)) \cdot A^{'} (x)

被积式是二元函数，需要对积分区间和被积式都做处理

{[\int_{A (x)}^{B (x)} f (x, t) d t]}^{'} = \int_{A (x)}^{B (x)} \frac{\partial f (x, t)}{\partial x} + f (x, B (x)) \cdot B^{'} (x) - f (x, A (x)) \cdot A^{'} (x)

同样是二元函数，但是定积分，所以只需要做偏导的部分

{[\int_{a}^{b} f (x, t) d t]}^{'} = \int_{a}^{b} \frac{\partial f (x, t)}{\partial x} d t

2和3可以秒填空题

性质

连续性
$f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ 在 $[a, b]$ 上连续
可导性
1. $f (x)$ 连续 $⟹ F (x)$ 可导，且 $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$
2. $f (x)$ 可去 $⟹ F (x)$ 可导，且 $F^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} f (x)$
3. $f (x)$ 跳跃 $⟹ F (x)$ 连续不可导，且 $F_{-}^{'} (x_{0}) = f (x_{0}^{-}), F_{+}^{'} (x_{0}) = f (x_{0}^{+})$
奇偶性
1. $f (x)$ 为奇函数，则 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ 为偶函数
2. $f (x)$ 为偶函数，则 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ 为奇函数

5 定积分的性质

不等式

若 $f (x) \leq g (x) x \in [a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$
估值性（类似介值定理） $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$
绝对值： $| \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x$

积分中值定理

积分中值定理： $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a), a < ξ < b$
广义积分中值定理：如果 $f (x), g (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $g (x)$ 不变号，则有

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = f (ξ) \int_{a}^{b} g (x) d x, a \leq x \leq b

2的中值可以定义在闭区间上，用起来更方便（然而上两个定理的条件都一样，1 是 2 的特例）

6 积分不等式

常用方法

变量代换
积分中值定理
变上限积分——题目出现 $f (x)$ 单调时常用
柯西积分不等式

柯西积分不等式

{(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x \cdot \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x

其中 $\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x \cdot \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x$ 还可以表示为

\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x

也就是说中间乘法符号可以省略，变得像二重积分的累次积分

可以将其中一边的 $x$ 换成 $y$ ，完全变成累次积分
可以认为两定积分之积可以变成二重积分的累次积分