偏导数与全微分的计算

1 复合函数求导法

设 $u = u (x, y), v = v (x, y)$ 可导， $z = f (u, v)$ 在相应点处有连续的一阶偏导数，则

\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \end{aligned}

武老师的变量树形图法：数据结构中的树，根节点是 $z$ ，下一级节点是 $f$ 的各种变量如 $u, v$ ，甚至可以包含 $x, y$ ，最后的叶子节点是最终变量 $x, y$ ；对 $x$ 求偏导，就要在树中找到所有关于 $x$ 的路径，路径上节点间的连线相当于做一次偏导，同一路径上的偏导结果相乘，最后将所有路径上求偏导的结果加起来
- 如 $z \to u \to x, z \to v \to x$ 这两条路径，就可得到上边的 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 表达式

求具体点处的偏导数、高阶偏导——先代后求

结论

若 $P (x, y), Q (x, y)$ 有连续一阶偏导数，且 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y$ 是某函数的全微分，则 $$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x},\quad {\text 或}\ P_y'=Q_x'$$ 可联系前面两混合偏导相等的性质
可微齐次函数的性质：对任意 $t > 0$ 有 $f (t x, t y) = t^{n} f (x, y)$ ，为 $n$ 次齐次函数；如果 $f (x, y)$ 可微，则有 $$f(x,y) { 是 n 次齐次函数}\ \Leftrightarrow\ x\dfrac{\partial f}{\partial x}+y\dfrac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y)$$
- 看到偏导前面多一个变量的要想到这个性质，立即令 $x = t x, y = t y$

中间变量不影响 $d z$ 的形式：设 $z = f (u, v), u = u (x, y), v = v (x, y)$ 都有连续一阶偏导数，则：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y = \frac{\partial z}{\partial u} d u + \frac{\partial z}{\partial v} d v

隐函数存在定理
1. 方程 $F (x, y, z) = 0$ ，若 $F_{z}^{'} \neq 0$ ，则 $F$ 为 $z$ 的隐函数——可由该方程确定 $z$ 关于 $x, y$ 的函数
2. 同理， $F (x, y) = 0$ ，若 $F_{y}^{'} \neq 0$ ，可确定 $y$ 关于 $x$ 的函数
由一个方程所确定的隐函数
设 $F (x, y, z)$ 有连续一阶偏导数， $F_{z}^{'} \neq 0, z = z (x, y)$ 由方程 $F (x, y, z) = 0$ 确定
1. 公式法： $\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{z}^{'}}, \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_{y}^{'}}{F_{z}^{'}}$
2. 方程两边求导：如 $F_{x}^{'} + F_{z}^{'} \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
3. 利用微分形式不变性： $F_{x}^{'} d x + F_{y}^{'} d y + F_{z}^{'} d z = 0$

也可以由这个性质直接看出偏导：

已知偏导数求原函数——用偏积分