导数

1 导数定义

下面的极限存在时，称函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 点处可导

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

记该极限值为 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 点处的导数，可记作 $f^{'} (x_{0})$ 或 $\frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}}$
等价形式：

\begin{aligned} f^{'} (x_{0}) = & lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} \\ f^{'} (x_{0}) = & lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \end{aligned}

f_{-}^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

f_{+}^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

可导

⟺

左右导数存在且相等

函数在某点可导，不能推导出该点周围也可导

笔记

f^{'} (x_{0}) 存在 ⟺ lim_{Δ \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ) - f (x_{0})}{Δ}

f (x) 在 x = a 处可导 ⟺ φ (a) = 0

$f (x)$ 和 $| f (x) |$ 可导性之间的关系
$f (x)$ 可导 $⇎ | f (x) |$ 可导，反例 $x, | x |$
设 $f (x)$ 连续，看函数值是不是 0
- 若 $f (x_{0}) \neq 0$ ，则在 $x = x_{0}$ 处， $| f (x) | 可导 ⟺ f (x) 可导$
- 若 $f (x_{0}) = 0$ ，则在 $x = x_{0}$ 处， $| f (x) | 可导 ⟺ f^{'} (x) = 0$ ——零点处的导数为 0，加了绝对值之后才可导

\begin{aligned} (C)^{'} = 0 & (x^{α})^{'} = α x^{α - 1} \\ (a^{x})^{'} = a^{x} \ln a & (e^{x})^{'} = e^{x} \\ (\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a} & (\ln | x |)^{'} = \frac{1}{x} \end{aligned}

\begin{aligned} (\sin x)^{'} = \cos x & (\cos x)^{'} = - \sin x \\ (\tan x)^{'} = \sec^{2} x & (\cot x)^{'} = - \csc^{2} x \\ (\sec x)^{'} = \sec x \cdot \tan x & (\csc x)^{'} = - \csc x \cdot \cot x \end{aligned}

\begin{aligned} (\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} & (\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ (\arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} & (a r c c o t x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}} \end{aligned}

$u = φ (x)$ 在 $x$ 处可导， $y = f (u)$ 在对应点处可导，则复合函数 $y = f (φ (x))$ 在 $x$ 处可导，且

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

判断复合函数的可导性

设 $y = f (u), u = g (x), u_{0} = g (x_{0})$ ：

$g^{'} (x_{0}), f^{'} (u_{0})$ 都存在——则 $y = f (g (x))$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $y^{'} (x_{0}) = f^{'} (u_{0}) \cdot g^{'} (x_{0})$
其中至少一个不可导，复合函数并非不可导，要先求出 $y = y (x)$ 的表达式，再讨论

方程 $F (x, y) = 0$ 确定隐函数 $y = y (x)$ ，可在方程两边对 $x$ 求导， $y$ 的导数记作 $y^{'}$ ，解出 $y^{'}$ 即可
也可以用多元函数微分学的隐函数求导公式

\frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}

φ^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (x)}, \frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}}

φ^{″} (y) = \frac{d}{d x} [\frac{1}{f^{'} (x)}] \cdot \frac{d x}{d y} = - \frac{f^{″} (x)}{[f^{'} (x)]^{2}} \cdot \frac{1}{f^{'} (x)}

- 注意 $f^{″} (x)$ 可能不存在

参数方程 ${\begin{cases} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{cases} (α < t < β)$ 确定函数 $y = y (x)$ ，则有

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{ψ^{'} (t)}{φ^{'} (t)}

简记： $y^{'} = \frac{y_{t}^{'}}{x_{t}^{'}}$

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x}) \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{ψ^{″} (t) φ^{'} (t) - φ^{″} (t) ψ^{'} (t)}{[φ^{' (} t)]^{3}}

f^{(n)} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f^{(n - 1)} (x_{0} + Δ x) - f^{(n - 1)} (x_{0})}{Δ x} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{(n - 1)} (x) - f^{(n - 1)} (x_{0})}{x - x_{0}}

公式
1. $(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n π}{2})$
2. $(\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{n π}{2})$
3. $(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$
4. $(u v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}$ ——莱布尼兹公式，注意组合数
归纳法：先求一、二阶导 $y^{'} (x), y^{″} (x)$ ，再归纳出 n 阶导数
泰勒公式法：用带皮亚诺余项的泰勒公式可直接写到 n 阶导数
- 用常用泰勒公式得到复合函数的高阶导数时，需要注意导数的阶数和自变量 $x$ 的阶数是相同的
- 例如 $g (x) = - (1 + x^{2})^{- \frac{1}{2}} = - [1 + (- \frac{1}{2}) (x^{2}) + \frac{(- \frac{1}{2}) (- \frac{1}{2} - 1)}{2!} (x^{2})^{2} + o (x^{4})]$
- 则 $g^{(4)} (0) = 4! \times (- \frac{3}{8}) = - 9$
- 中间缺失的 $x, x^{3}$ 项对应 $g^{'} (0) = g^{(3)} (0) = 0$

分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求，分界点外正常