1 连续函数相关定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续

有界和最值定理

闭区间上连续，一定有界，且存在最大最小值

• $m\le f(x)\le M$

介值定理

设 $m\le \mu \le M$，则 $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi )=\mu$

• 即函数必经过最大最小值之间的任意值，画条水平线必经过至少一个点

平均值定理

$[a,b]$ 内的 n 个点 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，至少存在 1 点 $\xi \in [x_1,x_n]$，使得

零点定理

若 $f(a)\cdot f(b)<0$，则至少有 1 个 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )=0$
即，两端异号，中间必有零点

2 微分中值定理

⭐将导数和函数联系起来

罗尔定理

满足三个条件的 $f(x)$

1. 在 $[a,b]$ 上连续（闭区间连续）
2. 在 $(a,b)$ 上可导（开区间可导）
3. 且 $f(a)=f(b)$
   **则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$ **
   

拉格朗日定理

条件：

1. 闭区间连续
2. 开区间可导
   **则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 ${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(\xi )$ **

柯西定理

条件：两个函数 $f(x),g(x)$

1. 闭区间连续
2. 开区间可导
3. $g^{\prime }(x)\ne 0$
   **则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 ${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}}$ **

泰勒定理

带拉格朗日余项的泰勒公式：
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内 $n+1$ 阶可导，则对邻域内任意点 $x$ 有：

其中的 $R_n(x)={\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0{)}^{n+1}$ 称为拉格朗日余项，跟 (带皮亚诺余项的泰勒公式) 相比，这个余项带着下一阶的导数（在 $\xi$ 点），或者说下一阶泰勒展开项，其中 $\xi \in (x,x_0)$ 或 $\xi \in (x_0,x)$，取决于哪个比较大

3 专题：证方程的根、函数不等式

方程根的存在性及个数

1. 存在性
   1. #零点定理
   2. #罗尔定理
2. 根的个数
   1. 单调性
   2. 罗尔定理推论

函数不等式

常用 5 中方法，前三种频率最高：

1. 单调性
2. 最大最小值
3. 拉格朗日定理
4. 泰勒公式
5. 凹凸性

4 专题：微分中值定理有关证明题

#重点 #难点

证明存在一点，使微分方程成立

证明存在一个点 $\xi \in (a,b)$，使 $F[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$

一般要将命题改写成 $F[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$ 的形式，然后构造辅助函数用罗尔定理。
构造辅助函数的方法：

1. 分析法（还原法）

分析 $F[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$，确定出辅助函数 $g(x)$ 使得

• 具体来讲，就是根据要证的形式判断出 $g^{\prime }(x)$ 应该出现哪些项，反推回 $g(x)$ 应该出现哪些项
• 初步得到 $g(x)$ 后，求导看看多/少了什么项，分析应该怎样消除

2. 微分方程法

欲证 $F[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$,

1. 先求微分方程 $F[x,y,y^{\prime }]=0$ 的通解 $H(x,y)=C$
2. 再设辅助函数 $g(x)=H(x,f(x))$

❤.常用辅助函数

1. 欲证 $f^{\prime }(\xi )+\lambda f(x)=0$，令 $F(x)=e^{\lambda x}f(x)$
2. 欲证 $\alpha f^{\prime }(\xi )+\beta f(x)=0$，令 $F(x)=e^{\frac{\beta }{\alpha }x}f(x)$
3. 欲证 $f^{\prime }(\xi )+g^{\prime }(x)f(x)=0$，令 $F(x)=e^{g(x)}f(x)$
4. 欲证 $f^{\prime }(\xi )+g(x)f(x)=0$，令 $F(x)=e^{\int g(x)\mathrm{d}\mathrm{x}}f(x)$

证明存在两个中值点，使微分方程成立

证明 $\mathrm{\exists }\xi ,\eta \in (a,b)$，使得 $F[\xi ,\eta ,f(\xi ),f(\eta ),f^{\prime }(\xi ),f^{\prime }(\eta )]=0$

1. 不要求 $\xi \ne \eta$ 时：在同一区间 $[a,b]$ 上使用两次中值定理（拉格朗日、柯西）

2. 要求 $\xi \ne \eta$ 时：将 $[a,b]$ 分成两个小区间，分别在上面用拉格朗日中值定理

   • 比如想找到 $c\in (a,b)$，用类似待定系数的方法，用两次中值定理
   • 分析过程： ${\displaystyle \frac{f(c)-f(0)}{c-0}}=f^{\prime }(\xi ),{\displaystyle \frac{f(1)-f(c)}{1-c}}=f^{\prime }(\eta )$，代入要证明的关系式，得到 $f(c)$ 的取值——注意：$f(c)$ 中一般不含有 $c$，通常只能瞪眼法使得等式两边成立
   • 证明过程先用介值定理：$f(0)<A<f(1)\Rightarrow \mathrm{\exists }c\in (0,1),f(c)=A$，然后再用中值定理
     • 瞪眼法有困难时，可以尝试证明 $f(c)$ 可含 $c$：用零点定理或者其它方法证明辅助函数如 $F(x)=f(x)-x$ 有零点，则有 $f(c)=c$

证明存在一个中值点，使微分不等式成立

证明 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $F[\xi ,f^{(n)}(\xi )]\ge 0,(n\ge 2)$

• 用带拉格朗日余项的泰勒公式，其中的定点 $x_0$ 选择题设提供的函数值和导数值信息多的点
  • 信息一样多——都要用
  • 有导数的信息，优先用