1 极值与最值

• 定义：
  函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域内，对于任意 $x$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个极大值点，极小值点类似。极大值点和极小值点统称为极值点

必要条件

• 可导且为极值点，则有 $f^{\prime }(x_0)=0$
• 驻点：导数为 0 的点
  • 对可导函数来说，极值只可能在驻点处取得——极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点、
  • 对一般函数来说，极值点只可能在驻点和导数不存在的点取得——判断需要用充分条件

充分条件

第一充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在它附近可导（去心邻域）

1. 若左邻域 $f^{\prime }(x)>0$，右邻域 $f^{\prime }(x)<0$，则取得极大值
2. 反之取得极小值
3. 若左右两边符号不变，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处没有极值

第二充分条件

若 $f^{\prime }(x_0)=0,f^{″}(x_0)\ne 0$，则取得极值，根据二阶导数的符号判断极大/极小

1. $f^{″}(x_0)>0$ ——取得极小值
2. $f^{″}(x_0)<0$ ——取得极大值

第三充分条件

若 $f^{\prime }(x_0)=f^{″}(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\ne 0$ ——前面都是 0，第 n 阶不为 0，则：

1. n 为偶数时有极值—— $f^{(n)}(x_0)>0$ 取得极小值，$f^{(n)}(x_0)<0$ 取得极大值
2. n 为奇数时无极值

求最值

连续函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最值：

1. 先求出开区间内的驻点和不可导点
2. 再求出 $f(x)$ 在驻点、不可导点、区间端点 $a,b$ 处分别求函数值
3. 比较各个点处的函数值，即可得出最大最小值

2 凹向与拐点

凹向的定义和判定

• 定义：区间上连续的函数 $f(x)$，如果对区间内任意两点 $x_1,x_2$ 恒有
  • $f({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}})<{\displaystyle \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}}$ —— $f(x)$ 在区间上的图形是凹的
  • $f({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}})>{\displaystyle \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}}$ —— $f(x)$ 在区间上的图形是凸的
• 判定：看二阶导符号
  • $f^{″}(x)>0$，凹
  • $f^{″}(x)<0$，凸
  • 也可以用切线方程和函数值比较的方法：曲线在切线上是凹的，在切线下方就是凸的
    

拐点

• 两侧凹凸性相反，曲线凹向在这点变化

判定（一必要三充分）

必要条件

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导，且点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点，则 $f^{″}(x_0)=0$（二阶导为 0）

第一充分条件

在 $x_0$ 连续，在去心邻域内二阶导存在，左右两边二阶导 $f^{″}(x)$

1. 变号，则为拐点
2. 同号，不是拐点

第二充分条件

三阶可导，二阶导数为 0（$f^{″}(x_0)=0$）

1. 若三阶导数不为 0 （$f^{‴}(x_0)\ne 0$）则 $(x_0,f)$ 是拐点
2. 若三阶导数为 0，则无法判断（考虑第三充分条件）

第三充分条件

若 $f^{″}(x_0)=f^{″}(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，但 $f^{(n)}(x_0)\ne 0$，则

1. n 为奇数时，是拐点
2. n 为偶数时，不是拐点

3 渐近线

水平渐近线

• 趋于无穷：若 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$（或 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 、$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$）
• 那么 $y=A$ 是 $y=f(x)$ 的水平渐近线
• 最多 2 条

铅垂渐近线

• 趋于确定的点：若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$（或 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$ 、$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A$）
• 那么 $x=x_0$ 是 $y=f(x)$ 的铅垂渐近线

斜渐近线

• 若 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=a,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-a]=b$（可以趋于正负无穷）
• $y=ax+b$
• 最多 2 条，趋于正无穷或负无穷时 $a$ 可能不同

4 平面曲线的曲率

曲率的定义

了解即可

曲率的计算

1. 直角坐标方程 $y=y(x)$ （用得比较多）

2. 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$

曲率圆和曲率半径

• 曲率半径：$R={\displaystyle \frac{1}{K}}$ ——曲率的倒数
• 圆的曲率是半径的倒数：$K={\displaystyle \frac{1}{R}}$
• 曲率圆方程的确定：
  • 核心是确定圆心坐标
  • 求出某点的曲率半径后，顺便用一阶导求出该点处的法线方程
  • 根据二阶导的符号确定该点处曲线的凹凸性，可确定曲率圆在切线的哪一侧
  • 最后要由半径反推回圆心坐标，根据半径、法线斜率求横纵坐标的增量 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 即可