1 基本概念

• 解空间：齐次方程组 $Ax=0$ 的所有解，称为 $Ax=0$ 的解空间

• 基础解系：解空间的一个极大线性无关组
  向量组 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 满足以下几个条件时，为方程 $Ax=0$ 的基础解系：

  1. 均为 $Ax=0$ 的解
  2. 线性无关
  3. $Ax=0$ 的解均能由它们线性表示

• 主变量、自由变量：齐次方程组 $Ax=0$ 的系数矩阵化为阶梯形后，每一个方程的第一个未知变量称为主变量，其余的未知变量称为自由变量（行阶梯形每一行代表方程组的一行）

2 解的结构、性质

设 $A_{m\times n}x=0(\mathbf{I}),A_{m\times n}x=\beta (\mathbf{I}\mathbf{I})$

1. 若 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 为齐次方程组 $(\mathbf{I})$ 的解，则它们的线性组合 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$ 也是 $(\mathbf{I})$ 的解

2. 如果 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 是非齐次方程组 $(\mathbf{I}\mathbf{I})$ 的解，那么二者之差 ${\eta }_1-{\eta }_2$ 是齐次方程组 $(\mathbf{I})$ 的解

3. ⚡非齐次方程组 $(\mathbf{I}\mathbf{I})$ 的通解 $=$ 齐次通解+非齐次特解

4. ⚡齐次方程组 $(\mathbf{I})$ 的基础解系中含有的向量的个数为：$n-r(A)$

   • 或者说：齐次方程组解空间的秩为 $n-r(A)$
   • $n$ 是 $A_{m\times n}$ 的列数，即未知变量 $x_i$ 的个数

3 ⚡解齐次方程组⚡

方法：初等行变换化为行阶梯形——推荐化为行最简形，方便后续计算

1. 如果有唯一零解，直接写结论
2. 如果有无穷多解（有非零解）：有几个自由变量，就设几个临时向量，表示一个基础解系
   如 $(x_1,x_2,1,0{)}^{\mathrm{T}},(x_1,x_2,0,1{)}^{\mathrm{T}}$，按顺序移 1 补 0，最后将这些向量分别代入方程组，就能求得 $x_1,x_2$
   • 3 个自由变量的情况依此类推
   • 只有 1 个自由变量时，只设 1 个向量，对应元素为1

4 解非齐次方程组

方法：对增广矩阵，也用行变换化成阶梯形

1. 若无解，直接写结论
2. 若有唯一解，直接根据增广矩阵 $\overline{A}$ 计算（可以化为行最简，直接凑出特解）
3. 若有无穷多解，先算相应齐次方程的通解（增广矩阵左边是系数阵，可用来找齐次通解），再找一个非齐次特解即可

5 克莱姆法则

若非齐次方程组 $Ax=\beta$ 的系数矩阵 $A$ 为方阵 ($A_{n\times n}$)，且 $|A|\ne 0$，则直接写出方程组唯一解的方法：

即 $x_i={\displaystyle \frac{|A_i|}{|A|}}$，其中 $|A_i|$ 是用常数向量 $\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$ 取代系数阵的行列式 $|A|$ 中第 $i$ 列形成的新行列式