1 几何应用

平面图形的面积

1. 直角坐标 $$S=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]{\rm d}x$$
2. 极坐标 $$S=\frac 12\int_\alpha^\beta r^2 (\theta){\rm d}\theta$$
3. 都是用二重积分算平面域的面积，根据区域 $D$ 的特点选择二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性） $$S=\iint_D, {\rm d}\sigma$$

空间体体积

1. 旋转体
   区域 $D$ 绕固定直线 $L:ax+by+c=0$ 旋转的体积，任取区域内一点 $(x,y)$，可定义旋转体体积微元：$${\rm d}V=2\pi\cdot r(x,y)$$ 其中 $r$ 是点 $(x,y)$ 到直线 $L$ 的距离，即公式 $r(x,y)={\displaystyle \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$，则 $$V=2\pi\iint_D,r(x,y) {\rm d}\sigma$$

   • 如果转轴是坐标轴：
     • $V_x=2\pi {\iint }_{D}y\mathrm{d}\sigma =\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$
     • $V_y=2\pi {\iint }_{D}x\mathrm{d}\sigma =2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x$

2. 已知横截面面积，计算体积
   已知截面面积函数 $S(x)$，则有 $$V=\int_a^b, S(x) {\rm d}x$$

3. 弧长

   1. 直角坐标 $s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$
   2. 参数方程 $s={\int }_a^b\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$
   3. 极坐标 $s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$

4. 旋转体侧面积
   由曲线 $y=f(x)\ge 0$，直线 $x=a,x=b,(0\le a<b)$ 和 $x$ 轴所围成的区域绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积为 $$S=2\pi\int_a^b, f(x)\sqrt{1+f'^2(x)} {\rm d}x$$

   • 其中，$f(x)$ 是旋转半径，$\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$ 是弧微分——相当于画了无数个圆，求所有圆的周长之和

2 物理应用

1. 变力沿直线做功
   • 做功的微元：$dW=F(x)\mathrm{d}x$
2. 抽水做功
   • 设竖直向下的方向为 $x$ 轴正方向，容器口为 0，容器内液面位置为 $a$，容器底部为 $b$
   • 对于 $x$ 处微小厚度 $\mathrm{d}x$ 的一层水，抽出容器需要的高度是 $x$，液面面积为 $A(x)$，则每层液体的体积为 $\mathrm{d}V=A(x)\mathrm{d}x$
   • 每层液体的质量为 $\rho \cdot \mathrm{d}V$，所受重力 $\rho g\cdot \mathrm{d}V$
   • 故做功微元 $\mathrm{d}W=\rho gx\mathrm{d}V=\rho gxA(x)\mathrm{d}x$
3. 液体压力
   • 容器壁受到液体的压强与深度有关：$P=\rho gh$
   • 由压强公式反推压力表达式为：$F=PS$
4. 引力
   • 引力公式：$F=G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}}$
   • 题目会问运动物体间的引力做功