1 基础知识

定义

设 $n$ 阶方阵 $A_{n\times n}$，如果有向量 ${\alpha }_{n\times 1}\ne 0$ 使得

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，$\alpha$ 是 $\lambda$ 对应的一个特征向量

• 特征值、特征向量的概念只针对方阵
• 特征向量不能为 $\mathbf{0}$，特征值可能为 $0$

求特征值与特征向量的方法

基准：$(A-\lambda E)\alpha =0$
也可以写成：$(\lambda E-A)\alpha =0$

1. 由行列式 $|\lambda E-A|=0$，解出 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，算上重根一共有 $n$ 个特征值
2. 代入 ${\lambda }_i$，解方程组 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$，其所有的非零解即为特征向量（一般取基础解系）
   • 三角阵、对角阵的特征值为其对角线上的元素
   • $O$ 矩阵的特征值全为 $0$，特征向量为所有非零向量

3阶矩阵快速求特征值

1. $r(A)=1$，即 $A=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$ 时
   矩阵 $A$ 有两个特征值为 $0$，剩下一个 $\lambda =tr(A)={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta ={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$

2. $r(A)=2$，代公式
   由三阶方阵的性质 $|\lambda E-A|={\lambda }^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33}){\lambda }^2+(A_{11}+A_{22}+A_{33})\lambda -|A|$ ，且由于 $r(A)=2<3$，会有一个特征值为 0，且 $|A|=0$
   故有：

   $${\lambda }^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33}){\lambda }^2+(M_{11}+M_{22}+M_{33})\lambda =0$$

   系数分别是 $A$ 的一阶主子式（主对角线元素）之和，与二阶主子式之和

   • 代入方程求出 3 个特征值即可

3. $r(A)=3$，“转圈化简法”
   

2 性质

• $A^{\ast }$ 的特征值：由于 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3$，则 $A^{\ast }$ 的 3 个特征值为 ${\lambda }_2{\lambda }_3,{\lambda }_1{\lambda }_3,{\lambda }_1{\lambda }_2$

1. $n$ 阶方阵 $A$ 的特征值（算上重根）一共有 $n$ 个，它们的和等于 $A$ 的对角线元素之和，记作“迹” $tr(A)$，所有特征值之积等于 $|A|$

   • ⚡ $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_A\ne 0\iff |A|\ne 0\iff A$ 可逆 $\iff r(A)=n$
   • $A$ 至少有一个特征值 ${\lambda }_A=0\iff |A|=0\iff A$ 不可逆 $\iff r(A)<n$

2. $n$ 阶方阵 $A$，若 $A\alpha =\lambda \alpha (\alpha \ne 0)$，则必有多项式矩阵=特征值矩阵 $f(A)\alpha =f(\lambda )\alpha$
   即

   $$A\alpha =\lambda \alpha \Rightarrow f(A)\alpha =f(\lambda )\alpha =(a_k{\lambda }^k+a_{k-1}{\lambda }^{k-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0)\alpha$$
   • 若 $A$ 可逆，则有：$A\alpha =\lambda \alpha \iff A^{-1}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\alpha ,f(A^{-1})\alpha =f({\lambda }^{-1})\alpha$
   • $A$ 和其转置 $A^{\mathrm{T}}$ 的特征值相同，特征向量不一定
   • 若 $f(A)=O$，则 $f(\lambda )=0$，可以计算出特征值可能的值，但不能确定重数（定义法可以）

3. 设任意 $k$ 重特征值对应的线性无关的特征向量个数为 $N$，则有：$1\le N\le k$

   • $1$ 重特征值可对应 $1$ 个线性无关特征向量
   • 即对应的方程组 $({\lambda }_{1}E-A)x=0$ 的基础解系由 $1$ 个向量构成

4. 不同特征值对应的特征向量之间线性无关

5. 若 $A,B$ 是同阶方阵，则 $AB$ 与 $BA$ 具有相同的特征值：${\lambda }_{AB}={\lambda }_{BA}$

结论性例题

• 同一特征值的特征向量之间、不同特征值的特征向量之间的关系
  

3 题型/技巧

1. 可以由 $(A^k,\alpha )$ 多项式直接列出 A 的特征值和特征向量：
   由 $A^3\alpha +2A^2\alpha -3A\alpha =0$ ，其中 $\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha$ 线性无关，有$$\begin{array}{c}(0E-A)(A^2\alpha +2A\alpha -3\alpha )=0\\ (1E-A)(A^2\alpha +3A\alpha )=0\\ (-3E-A)(-A^2\alpha +A\alpha )=0\end{array}$$$\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha$ 线性无关，则后面的 3 个向量都不为 0，故它们都是 A 的特征向量，对应特征值也可以直接看出来