1 无条件极值

定义

函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，设邻域内任意点 $P(x,y)$

• 极大值：$f(x,y)\le f(x_0,y_0)$
• 极小值：$f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$

极值的必要条件

极值点处，两个一阶偏导同时为 0

极值的充分条件

$z=f(x,y)$ 有连续二阶偏导，且两一阶偏导为 0（ $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$），记

则有以下结论：

1. $AC-B^2>0$，则 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极值点，且有
   1. $A<0$，为极大值点
   2. $A>0$，为极小值点
2. $AC-B^2<0$，不是极值点
3. $AC-B^2=0$，不一定，要用定义判

求极值的一般步骤

1. 求出 $f(x,y)$ 的驻点 $P_1,P_2,\cdots$
2. 利用极值的充分条件判定是否为极值点

2 条件极值

拉格朗日乘数法

求 $z=f(x,y)$ 在条件 $\phi (x,y)=0$ 下的条件极值的一般方法：

1. 构造拉格朗日函数 $F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$
2. 将 $F(x,y,\lambda )$ 分别对 $x,y,\lambda$ 求偏导，构造如下方程组：$$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }=f_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0\\ \\ F_y^{\prime }=f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0\\ \\ F_{\lambda }^{\prime }=\phi (x,y)=0\end{array}$$
3. 解出 $x,y,\lambda$，其中的 $(x,y)$ 就是在条件约束下可能的极值点

推广

对于 3 个变量、2 个约束条件，如 $u=f(x,y,z)$ 在条件 $\phi (x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$ 下的极值：

• 拉格朗日函数：$F(x,y,z,\lambda ,\mu )=f+\lambda \phi +\mu \psi$
• 求偏导，列方程组：$$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y,z)+\mu {\psi }_x^{\prime },(x,y,z)=0\\ \\ f_y^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y,z)+\mu {\psi }_y^{\prime },(x,y,z)=0\\ \\ f_z^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_z^{\prime }(x,y,z)+\mu {\psi }_z^{\prime },(x,y,z)=0\\ \\ \phi (x,y,z)=0\\ \\ \psi (x,y,z)=0\end{array}$$

解方程组

可以用线代的线性方程组的思想，讨论 $Ax=0$ 的解：

• 首先由于此类问题的特殊性，$Ax=0$ 必有非零解
• 故 $|A|=0$，由此可得出变量之间的关系 $(x,y,z)$

1. 对于 2 变量，1 条件：

   $$A=\left[\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& {\phi }_x^{\prime }\\ f_y^{\prime }& {\phi }_y^{\prime }\end{array}\right]x=\left[\begin{array}{c}1\\ \lambda \end{array}\right]\$\$\mathrm{由}\$|A|=0\$，\mathrm{解}\mathrm{出}\$x,y\$\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{系}，\mathrm{代}\mathrm{入}\$F_{\lambda }^{\prime }=0\$\mathrm{求}\mathrm{解}$$$$A=\left[\begin{array}{cccc}{f}_x^{\prime }& {\phi }_x^{\prime }& & {\psi }_x^{\prime }\\ f_y^{\prime }& {\phi }_y^{\prime }& & {\psi }_y^{\prime }\\ f_z^{\prime }& {\phi }_z^{\prime }& & {\psi }_z^{\prime }\end{array}\right]x=\left[\begin{array}{c}1\\ \lambda \\ \mu \end{array}\right]$$

   由 $|A|=0$，解出 $x,y,z$ 之间的关系，代入 $F_{\lambda }^{\prime }=0,F_{\mu }^{\prime }=0$ 求解

2. 对于 3 变量，只有 1 个条件：列 3 个方程，会发现

   $${\displaystyle \frac{f_x^{\prime }}{{\phi }_x^{\prime }}}={\displaystyle \frac{f_y^{\prime }}{{\phi }_y^{\prime }}}={\displaystyle \frac{f_z^{\prime }}{{\phi }_z^{\prime }}}$$

   代入 $F_{\lambda }^{\prime }=0$ 那一行求解

3 最大最小值

有界闭区域上的最值

1. 求 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内部可能的极值点——求驻点代入函数取值（无需讨论是不是极值点！）
2. 求 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 边界上的最大最小值——用拉格朗日乘数法，条件是区域边界 $\phi (x,y)=0$
3. 比较大小

应用题

1. 建立目标函数
2. 求有界闭区域上的最值