函数运算

1 三角函数

概念：
- 注意：
  - 反正弦函数并不是 $y = \sin x$ 在整个定义域上的反函数，注意 $y = \arctan x$ 的值域；
  - 它仅是 $y = \sin x$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的反函数，其他区间的反函数求解需要通过恒等变形平移到 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上才能表示，反余弦函数类似；
- 关系：arcsinx 与 sinx
  - 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，由反函数 $f^{- 1} [f (x)] = x$ 可知： $a r c \sin (\sin x) = x$
  - 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，由反函数 $f [f^{- 1} (x)] = x$ 可知： $\sin (\arcsin x) \equiv x$
- 举例：利用恒等变换平移 x：
  - 求 $\arcsin (\sin x), x \in (\frac{3}{4} π, π)$
  - 构造 $\sin x = \sin (π - x)$ ，将区间移动至 $(\frac{1}{4} π, 0)$ ，此时才可以使用复合函数
  - 得到
  $\arcsin (\sin x) = \arcsin (\sin (π - x)) = π - x, x \in (\frac{3}{4} π, π)$
arcsin x
- 值域： $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
arccos x
- 值域： $[0, π]$
arctan x
- 恒等映射： $\tan (\arctan x) = x$
- $\arctan x + \arctan \frac{1}{x} \equiv \frac{π}{2} (x > 0)$ ——可以画一个直角三角形理解

\begin{aligned} \sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y \\ \cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \\ \tan (x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y} \end{aligned}

常用结论：
- $\sin x + \cos x = \sin (x + \frac{π}{4})$
- $\sin (n π + α) = (- 1)^{n} \sin α$
诱导公式：

\tan α \cot α = 1 、 \sin α \csc α = 1 、 \cos α \sec α = 1

\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} 、 \cot α = \frac{\cos α}{\sin α}

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 、 1 + \tan^{2} α = \sec^{2} α 、 1 + \cot^{2} α = \csc^{2} α

\begin{aligned} \sin 2 α & = 2 \sin α \cos α \\ \cos 2 α & = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α \\ \tan 2 α & = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α} = \frac{2 \cot α}{\cot^{2} α - 1} = \frac{2}{\cot α - \tan α} \end{aligned}

\begin{aligned} \sin \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \\ \cos \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \\ \tan \frac{α}{2} = \frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{1 - \cos α}{\sin α} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \\ \cot \frac{α}{2} = \frac{1 + \cos α}{\sin α} = \frac{\sin α}{1 - \cos α} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} \end{aligned}

\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}, \sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}, t a n^{2} α = \frac{1 - c o s 2 α}{1 + c o s 2 α}

1 - \cos x = 1 - [\cos (2 \cdot \frac{x}{2})] = 1 - (1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{2}) = 2 \sin^{2} \frac{x}{2}

{\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \end{cases} ⟺ {\begin{cases} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ = \arcsin \frac{y}{r} = \arcsin \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \end{cases}

注意：上述转换方法仅限于二者原点相同，且极坐标参考系与直角坐标的 𝑥 轴方向相同的情况

极坐标下，常见的函数形式：
- 射线 y=kx ，其极坐标方程： $θ = θ_{0}$
- 圆心在原点，半径为 a 的圆： $r = a$
- 圆心在 (a,0) 点，半径为 a 的圆： $r = 2 a \cos θ$
- 圆心在 (0,a) 点，半径为 a 的圆： $r = 2 a \sin θ$

直线：
- 形式：
  - $y = k (x - x_{0}) + y_{0}$
- 参数方程：
  - ${\begin{cases} x = x_{0} + t \cos α \\ y = y_{0} + t \sin α \end{cases}$

圆：
- 形式：
  - $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
- 参数方程：
  - ${\begin{cases} x = a + r \cos t \\ y = b + r \sin t \end{cases}$
其他常见曲线：

\begin{aligned} 圆: & {\begin{matrix} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{matrix} & 椭圆: & {\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases} \\ 双曲线: & {\begin{matrix} x = a \sec t \\ y = b \tan t \end{matrix} & 抛物线: & {\begin{matrix} x = 2 c t \\ y = t^{2} \end{matrix} \\ 螺线: & {\begin{array}{c} x = t \cos l t \\ y = t \sin l t \end{array} & 摆线: & {\begin{matrix} x = r \cdot (t - \sin t) \\ y = r \cdot (1 - \cos t) \end{matrix} \end{aligned}

星形线
- 一般式： $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$
- 参数方程： ${\begin{cases} x = a \cos^{3} θ \\ y = a \sin^{3} θ \end{cases}$
- 图像：

摆线
- $参数方程 {\begin{cases} x = a (θ - \sin θ) \\ y = a (1 - \cos θ) \end{cases}$
双扭线
- 直角坐标方程： $(x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2} (x^{2} - y^{2})$
- 极坐标： $r^{2} = a^{2} \cos 2 θ$
- 如果遇到 $r^{2} = a^{2} \sin 2 θ$ ，把上图逆时针旋转 45° 即可

\begin{matrix} a^{0} = 1 (a \neq 0) a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s} \\ (a^{r})^{s} = a^{r s} \frac{a^{r}}{a^{s}} = a^{r - s} (a \neq 0) \\ {(a b)}^{r} = a^{r} b^{r} a^{- r} = \frac{1}{a^{r}} (a \neq 0) \end{matrix}

等式两边同时取对数：
- 作用：同时取对数，消掉指数，得对数
- $y = (x + 1)^{3} (x - 2)^{2} \to \ln y = 3 \ln (x + 1) + 2 \ln (x - 2)$
等式两边同时取指数：
- 作用：同时取指数，消掉对数，得指数
- $y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) \to e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$