逆矩阵与伴随阵

#笔记 #线代

1 逆矩阵

A A^{- 1} = A^{- 1} A = E

可逆矩阵的别称是非奇异矩阵
唯一性：一个矩阵的逆如果存在，就是唯一的
对角阵（数量阵）的逆为其对角线元素的倒数

可逆是针对方阵的概念

不要看到 $A B = E$ 就认为可逆，因为这三个矩阵的大小可以不一样

转置与逆的性质

公式

\begin{matrix} (A^{T})^{T} = A & (A B)^{T} = B^{T} A^{T} & (k A)^{T} = k A^{T} & | A^{T} | = | A | & (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T} \\ (A^{- 1})^{- 1} = A & (A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1} & (k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1} & | A^{- 1} | = \frac{1}{| A |} & (A^{- 1})^{T} = (A^{T})^{- 1} \end{matrix}

要背公式

可逆的结论

\begin{aligned} n 阶矩阵 A 可逆 & \Leftrightarrow | A | \neq 0 \\ \Leftrightarrow r (A) = n \\ \Leftrightarrow A 的列/行向量组线性无关 \\ \Leftrightarrow A = P_{1} P_{2} \dots P_{i} 是初等矩阵 \\ \Leftrightarrow A 与单位阵等价 \\ \Leftrightarrow A 的绝对值没邀请 0 \end{aligned}

求逆的方法

定义法
用伴随阵
初等变换法

2 伴随矩阵

A^{*} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix}]

是原矩阵 $A$ 的代数余子式构成的矩阵，相当于用代数余子式取代原元素再转置

二阶矩阵的伴随

对于二阶矩阵，主对角线元素对换，副对角线元素变号，即可得到伴随阵
$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}], A^{*} = [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$

公式

都要背

核心： $A A^{*} = A^{*} A = | A | E$
伴随的秩只有 3 种可能： $r (A^{*}) = {\begin{cases} n, & r (A) = n \\ 1, & r (A) = n - 1 \\ 0, & r (A) < n - 1 \end{cases}$
行列式： $| A^{*} | = | A |^{n - 1}$
转置： $(A^{*})^{T} = (A^{T})^{*}$
数乘的伴随： $(k A)^{*} = k^{n - 1} A^{*}$
伴随的伴随： $(A^{*})^{*} = | A |^{n - 2} A$
$A, B$ 可逆时，有：
- $A^{*} = | A | A^{- 1}, A^{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |}$
- $(A^{*})^{- 1} = (A^{- 1})^{*} = \frac{1}{| A |} A$
- $(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$