1 施密特正交化

1. 列公式

2. 单位化
   分别令 $$\gamma_i=\dfrac{1}{||\beta_i||}\beta_i$$
   即可得到向量组 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$ 为一组与原向量组等价的标准正交向量组

2 正交矩阵

定义

这样的方阵 $Q$ 就是正交矩阵

性质

• 正交阵 $Q$ 的行/列向量都有：两两正交，且长度为 1 —— 也就是说，$Q$ 的行/列向量组都是标准正交向量组
• （必要条件）若 $Q$ 为正交矩阵，则其行列式 $|Q|=\pm 1$ ，特征值 $\lambda =\pm 1$
  • 正交阵的行列式和特征值都只有 $+1,-1$ 两种情况

3 矩阵的合同

定义

同阶方阵 $A,B$，若存在可逆矩阵 $C$ 使得 $$\large C^{\rm T}AC=B$$ 则称 $A$ 与 $B$ 合同，记作 $A\simeq B$

性质

• 合同于同一个矩阵
• 转置、逆也合同（逆合同，伴随也合同）
• （必要条件）$A\simeq B$，则：
  • $r(A)=r(B)$
  • ${\lambda }_A$ 与 ${\lambda }_B$ 中正负号的个数对应一致
• （充要条件）$A\simeq B$，则它们的正负惯性指数相同：$p_A=p_B,q_A=q_B$

4 实对称矩阵

比如对角阵就是典型的实对称阵

特性

1. 特征值为实数，且一定可以对角化
   • 实对称矩阵相似 $⟺$ 特征值相同（与一般矩阵区分）
2. 对应于不同特征值的特征向量彼此正交：${\alpha }_1^{\mathrm{T}}{\alpha }_2={\alpha }_2^{\mathrm{T}}{\alpha }_1=0$
3. 总是存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$ ——特征值对角阵
4. 两实对称矩阵合同 $⟺$ 特征值的正负号个数对应相同（正负惯性指数相同）

对角化方法

1. 先求出 $A$ 的所有特征值 $\lambda$
2. 再求出对应的线性无关特征向量 $\alpha$（一定有，且一共有 $n$ 个）
3. 令 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$
4. 对同一个 $k$ 重特征值对应的 $k$ 个特征向量，打包进行施密特正交化
   单根特征值直接单位化即可，最后得到 $Q$，也是不唯一的

5 矩阵的三大变换

等价

即 $A$ 经过初等变换变成 $B$，它们为同类型矩阵，不一定是方阵
性质：

• 等价于同一矩阵：$A\cong B⟺A\cong C,B\cong C$
• 转置、逆等价：$A\cong B⟺A^{\mathrm{T}}\cong B^{\mathrm{T}}⟺A^{-1}\cong B^{-1}$
• 秩相等则等价：$A\cong B⟺r(A)=r(B)$

合同

针对同阶方阵

——或者说正负惯性指数相同

相似

针对同阶方阵

对于实对称矩阵

1. 合同 $A\simeq B:C^{\mathrm{T}}AC=B⟺A,B$ 特征值的正、负号个数相同——合同变换
2. 相似 $A\sim B:C^{-1}AC=B⟺A,B$ 特征值相同——线性变换/可逆变换