电路模型和基本定律

电路基本变量

基本概念

• 描述电路工作状态的基本量是：电压、电流、功率
• 注意电流单位要统一成 A，电压统一成 V
• 关于电压：
  • 电压大小的定义：将单位电荷由 A 点移动到 B 点，得到或失去的能量 $u_{AB}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{w}}{\mathrm{d}\mathrm{q}}$
  • 计算（电位差法）：$u_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b$
  • 任意两点间的电压与路径无关：
    • 对于一具体电路，计算两点间电压时，应选择最简单的路径
    • 万用表测量电压时，与导线位置无关（理想条件）

电流和电压的参考方向

• 电流的参考方向
  • 任意选定一个方向为电流的参考方向
  • 若计算出 $I>0$，则电流实际方向与参考方向相同
  • 若计算出 $I<0$，则电流实际方向与参考方向相反
• 电压的参考方向
  • 电压参考方向同样可以任选一个方向
  • 也是由数值符号的不同决定实际方向
• 关联/非关联参考方向
  • 选取关联或非关联参考方向，是针对标注在同一个元件上的电压和电流而言的，必须指明是哪一个元件
  • 当电流从元件的正极流入，从负极流出，称为关联参考方向
  • 当电流从元件的负极流入，从正极流出，称为非关联参考方向
  • 需要牢记这个概念的形式
• 参考点和电位
  • 参考点定义为 $0V$，多用接地符号表示；一个电路只能有一个参考点，要是出现多个接地符号，可以将它们视作同一点，甚至可以用导线连起来
  • 定义电路中某点到参考点的电势差为该点处的电位，也就是电压
  • 设参考点处为“-”，待求点处为“+”，求电压差
  • 注意 1：当待求点悬置时，所在支路是开路的状态，就算支路中含有电阻，也不会有电流通过，即支路两端电势差为 $0V$，两端电势是一致的（不一定是 $0V$）
  • 注意 2：有时电路中不标明参考点，但是给了某一端的电位（如下图，但是把接地换成引出点 A），要学会补上等效的电压源和正极，另一端接地作为负极（隐形参考点）

电功率和能量

• 电功率
  • 定义：单位电场力所做的功 $p=\frac{\mathrm{d}\mathrm{w}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=ui$
  • 单位：瓦特（W）
  • 符号：瞬时/时变功率（$p$）；平均/恒定功率（$P$），平均功率是最常见的
  • 数值的正负号表示吸收(+)或发出(-)功率，注意易错点：
    • $u,i$ 取关联参考方向时，$p=ui$ 代表吸收的功率（假定状态），此时若 $p>0$，则确实吸收功率；但如果计算出 $p<0$，则与假定相反，实际上发出功率
    • $u,i$ 取非关联参考方向时，$p=ui$ 代表发出的功率（假定状态），此时若 $p>0$，则确实发出功率；但如果计算出 $p<0$，则与假定相反，实际上吸收功率

电路定律（基尔霍夫定律）

术语

• 端子：元件上的一根引出线称为一个端子
• 端口：满足端口条件的一对端子称为一个端口
  • 端口条件：任意时刻，两端子电流代数和为 0
• 支路：流过同一电流的分支
• 节点：3 条及以上支路的公共点
• 回路：一个闭合路径称为一个回路
• 网孔：把电路比作渔网，网上的洞洞就是网孔；网孔包含在回路中，是内部没有元件的回路（除边界之外没有其他元件）

KCL

• 定义：任意时刻流出（流入）任一节点的各支路代数和为 0，即 $$\begin{matrix} \sum i_k=0 \quad {流入（流出）代数和相等} \ \sum i_{in}=\sum i_{out} \quad {流入节点电流等于流出节点的电流} \end{matrix}$$ 一般用第二种形式，不容易出错
• 关键：
  • 方程中的电流是流入还是流出，取决于参考方向
  • KCL 也适用于广义节点
    • 如上图，将闭合曲线视作一个广义的节点，则连接这个节点的支路有 3 条（也就是说这个曲线与外部电路的交线有 3 条），且有 $$i_1+i_2+i_3=0$$

KVL

• 定义：任意时刻沿着任意闭合路径（按固定绕向），各支路电压代数和为 0
  • $\sum u_k=0$
  • $\sum u_{up}=\sum u_{down}$ （电压升等于电压降）
  • 一般用第一种，电压降的形式
• 列 KVL 方程的步骤：
  1. 先设定各支路的电压参考方向
  2. 表出回路绕行方向（顺或逆时针，任意）
  3. 支路电压方向（$+\to -$）与绕行方向相同的，在前面标”+“，相反的标”-“，如 $$-u_1+u_2+u_3=0$$
• 关键：
  • 任意两点间电压与路径无关
  • 要掌握根据电压参考方向判定电压是升高还是降低的方法
  • 广义 KVL ——求端点电压：
    • KVL 可以推广到不构成闭合回路的一段电路中，但是要将断开出的电压也列入方程
    • 
    • 如上图，按顺时针方向有：$$u_{ab}+i_3R_3+i_1R_1-u_{S1}+u_{S2}-i_2R_2=0$$
  • 当心，有时给定的电压值是带符号的，不要漏掉；比如上题中 $u_{S1}=-3V$，那么式子中应该写成 $-(-3)$ 项

补充

• 利用广义 KCL 求解某支路电流时应该考虑：
  • 所选封闭面应该尽可能多地切割电流源支路，使得方程组更多出现已知量
  • 尽可能少切割电压源支路，方程组未知量更少
• 利用广义 KVL 时应该考虑：
  • 所选回路应该尽可能多地经过电压源支路，使得方程组更多出现已知量
  • 尽可能少经过电流源支路，方程组未知量更少
• 基尔霍夫定律适用于集总参数电路，分布参数不满足（不学习分布参数）；只要是集总参数，不论二维三维、时变时不变，都适用 KCL & KVL
• 分析具体电路时，可以首先对各个支路、节点进行编号（支路 1234，节点①②③④）
• 对接地点不能列 KCL 方程

电阻元件及欧姆定律

• 电阻元件：对电流呈现阻力的元件，主要学习线性时不变电阻元件
• 伏安特性曲线
  • 
• 描述参数
  • 电阻 R
    • 体现对电流的阻碍能力
    • 单位：Ω （欧姆）
  • 电导 G
    • 体现对电流的导通能力
    • 单位：S （西门子）
  • $R=\frac{1}{G},G=\frac{1}{R}$，看到电导应该转化成电阻再计算
• 欧姆定律
  • 关联参考方向：$u=Ri$
  • 非关联参考方向：$u=-Ri$
  • 只适用于线性电阻
• 电阻吸收功率
  • $P=UI=I^{2}R=\frac{U^2}{R}$
  • 正值电阻
    • 电阻元件的参数是正数
    • 电阻元件是纯耗能元件，有电流通过就消耗能量
    • 是无源元件
  • 负值电阻（等值电阻），了解
    • 实际上不是电阻元件的电阻参数，可能在含有受控源的网络的等值电阻会遇到，可以用运算放大器实现
    • 只要有电阻，就会发出功率
    • 是有源元件
• 特殊情况
  • 开路：$R=\mathrm{\infty }$
  • 短路：$R=0$

电压源、电流源

独立电源

电压源

• 定义：可以维持其端电压为固定值（或函数变化），与流经电流无关（可以流过任意大小的电流）
• 符号：线穿过圈圈；a 是一般情况，b 是传统形式
• 特点：
  • 电压由自身决定，电流由电压源与外部电路共同作用形成
  • 若 $u_S=0$ ，则相当于短路
• 功率：$p=ui$ 可以发出功率，也可以吸收功率（是有源元件）

电流源

• 定义：电流是固定值或函数变化，与承受电压无关（电压任意值）
• 符号：圈圈被截断，注意跟电压源区分
  • 
• 特点：
  • 电流由自身决定，电压由电流源和外部电路共同作用形成
  • 若 $i_S=0$ ，则相当于开路
• 功率特性同电压源

受控源（难点）

• 定义：大小和方向受到电流其他部分的电压或电流控制的电源
• 只学线性受控源
• 分类：
  • 受控电压源
    • 电压控制电压源 VCVS
      • 符号：
      • $u_2=\mu u_1$ ，系数无量纲
    • 电流控制电压源 CCVS
      • 符号：
      • $u_2=r{i}_1$ ，系数单位为 $\mathrm{\Omega }$
  • 受控电流源
    • 电压控制电流源 VCCS
      • 符号：
      • $i_2=g{u}_1$ ，系数单位是 $S$
    • 电流控制电流源 CCCS
      • 符号：
      • $i_2=g{u}_1$ ，单位无量纲
• 特点
  • 受控源不是电路的激励，无法单独作用——电路没有独立电源，就不会有响应
  • 参数由控制量决定
  • 四端元件（题目会简化掉一半，只保留电源的部分）
  • 有源元件
  • 控制量一定时，输出支路特性与独立源一致（可看作独立源）
• 分析过程
  • 分析包含受控源的电路时，将它看作未知具体值的电源处理（不要害怕）
  • 控制量为 0 时，受控源也为 0 ——开路或短路
  • 受控源具有负载性质，影响电路的输入电阻（等效电阻，重点、难点）

电阻、电源的等效变换

电阻的等效

• 串联：同支路上流经相同电流
  • 等效电阻 $R_{eq}=\sum R_i$
  • 串联分压公式：$u_k=R_k\cdot i=R_k\cdot \frac{u}{R_{eq}}=u\cdot \frac{R_k}{R_{eq}}$ ——分到的电压和它的阻值成正比
  • 两电阻串联：
    • $R_{eq}=R_1+R_2$
    • $u_1=u\cdot \frac{R_1}{R_{eq}},u_2=u\cdot \frac{R_2}{R_{eq}}$
• 并联：两端承受相同电压
  • 等效电导 $G_{eq}=\sum G_i$
  • 等效电阻 $\frac{1}{R_{eq}}=\sum \frac{1}{R_i}$ ，形式复杂，并联电导更常用
  • 并联分流公式：$i_k=G_k\cdot u=G_k\cdot \frac{i}{G_{eq}}=i\cdot \frac{G_k}{G_{eq}}$
  • 越并联，电导越大，电阻越小；电阻的电导越大，分到的电流越大
  • 两电阻并联：
    • $R_{eq}=\frac{R_1{R}_2}{R1+R2}$
    • $i_1=i\cdot \frac{G_1}{G_1+G_2}=i\cdot \frac{R_2}{R_1+R_2},i_2=i\cdot \frac{G_2}{G_1+G_2}=i\cdot \frac{R_1}{R_1+R_2}$ ——注意小细节，用电导/电阻的情况不一样
  • 特殊数值电阻的并联
    • 其中一个电阻(2 R)是另一个电阻(R)的 2 倍：$R_{eq}=\frac{2}{3}R$
    • 相同阻值并联：$R_{eq}=\frac{1}{n}R$
• 星形结构（Y）与三角形结构（$\mathrm{△}$）（星角变换）
  • 星形/Y 形：如 a)，由公共点 0 向外引出 3 条支路 1,2,3
  • 三角形：如 b)，3 个电阻接成三角形，每个顶点向外引出支路 1,2,3
  • 变换公式（背）：
    • Y → $\mathrm{△}$ $$\large \begin{cases} R_{12}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}\ R_{23}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1}\ R_{31}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2} \end{cases}$$
    • $\mathrm{△}$ → Y $$\large \begin{cases} R_1=\frac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\ R_2=\frac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\ R_3=\frac{R_{23}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}} \end{cases}$$
    • 当三个电阻的阻值相同时，有：$R_{\mathrm{△}}=3R_Y$ ——“外大内小”，Y 在角内
    • 
• 电桥
  • 
  • H 形电桥如上，有两条桥臂 (acb, adb) 和一条桥路 (cd)，桥路上只能是电阻，不能是电源之类的其他元件
  • 电桥平衡：对臂电阻乘积相等（或者说桥路对应电阻成比例），此时桥路两端是等电位点，可以开路（$U_{cd}={\phi }_c-{\phi }_d=0$）或短路（$i=\frac{U_{cd}}{R_5}=0$） $$R_1R_4=R_2R_3 \to \frac{R_1}{R_3}=\frac{R_2}{R_4}$$ 这就是电桥平衡条件
  • 电桥电路是特殊的 Y 接或 $\mathrm{△}$ 接

电源的等效

• 电压源串联、并联：
  • 
  • 串联的电压源可以加一起，但是要注意方向，别被坑了
  • 相同的电压源才能并联，但是各电源中的电流无法确定，没什么实际意义
• 电流源的串联、并联：
  • 
  • 并联的电流源可以直接相加，但是要注意方向
  • 相同电流源才能串联，但是没实际意义
• 若电路中有多个与电压源并联的部分，分析其中某个部分时，可以无视其余部分
• 若电路中有多个与电流源串联的部分，分析其中某个部分时，可以无视其余部分

电源的两种模型及其等效变换

• 实际电源的外特性和理想电源不一样，并非水平/竖直的直线

实际电压源（戴维南支路）

• 
• 实际电压源是理想电压源与电阻的串联（注意端口电压电流的参考方向，这里应该取逆时针才有右边的伏安特性）
• 关键参数：
  • 开路电压 $U_{OC}=U_S$ ——端口开路时两端的电压—— U 轴截距
  • 短路电流 $I_{SC}=\frac{U_S}{R_S}$ ——端口短路时流过的电流—— I 轴截距
  • 输入电阻 $R_S=|k|$ ——电压源置零时端口的等效电阻——伏安特性斜率
• 实际电压源是有内阻的，内阻越小，伏安特性越平；内阻为 0 时变成理想电源

实际电流源（诺顿支路）

• 
• 实际电流源是理想电流源与电阻的并联（注意端口电压电流的参考方向，这里应该取逆时针才有右边的伏安特性）
• 关键参数：
  • 开路电压 $U_{OC}=R{I}_S$ ——端口开路时两端的电压—— U 轴截距
  • 短路电流 $I_{SC}=I_S$ ——端口短路时流过的电流—— I 轴截距
  • 输入电阻 $R=|k|$ ——电压源置零时端口的等效电阻——伏安特性斜率
• 实际电流源是有内阻的，内阻越大，伏安特性越垂直；内阻为 $\mathrm{\infty }$ 时变成理想电源

戴维南支路和诺顿支路的等效变换

• 转换关系：$$\begin{cases} R_S=R\ U_S=RI_S \end{cases}$$
• 转换后两种电源的内阻不变，可实现两种电源之间的相互转化，对于简化电路很有用