二次型：知识补充

1 施密特正交化

目的：将线性无关的向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 化为与之等价的标准正交向量组（两两正交的单位向量组）

列公式

β_{1} = α_{1}, β_{2} = α_{2} - \frac{(α_{2}, β_{2})}{(β_{2}, β_{2})} β_{1}, β_{3} = α_{3} - \frac{(α_{3}, β_{1})}{(β_{1}, β_{1})} β_{1} - \frac{(α_{2}, β_{2})}{(β_{3}, β_{2})} β_{2}

单位化
分别令 $γ_{i} = \frac{1}{| | β_{i} | |} β_{i}$ 即可得到向量组 $γ_{1}, γ_{2}, \dots, γ_{n}$ 为一组与原向量组等价的标准正交向量组

2 正交矩阵

定义

Q^{T} Q = Q Q^{T} = E

这样的方阵 $Q$ 就是正交矩阵

性质

正交阵 $Q$ 的行/列向量都有：两两正交，且长度为 1 —— 也就是说， $Q$ 的行/列向量组都是标准正交向量组
（必要条件）若 $Q$ 为正交矩阵，则其行列式 $| Q | = \pm 1$ ，特征值 $λ = \pm 1$
- 正交阵的行列式和特征值都只有 $+ 1, - 1$ 两种情况

3 矩阵的合同

定义

同阶方阵 $A, B$ ，若存在可逆矩阵 $C$ 使得

\large C^{\rm T}AC=B$$ 则称 $A$ 与 $B$ 合同，记作 $A\simeq B$ ## 性质 - 合同于同一个矩阵 - 转置、逆也合同（*逆合同，伴随也合同*） - （必要条件）$A\simeq B$，则： - $r(A)=r(B)$ - $\lambda_A$ 与 $\lambda_B$ 中正负号的个数对应一致 - （充要条件）$A\simeq B$，则它们的正负惯性指数相同：$p_A=p_B,\ q_A=q_B$ --- # 4 实对称矩阵

A^{\rm T}=A

比如==对角阵==就是典型的实对称阵 ## 特性 1. **特征值为实数，且一定可以对角化** - 实对称矩阵相似 $\Longleftrightarrow$ 特征值相同（与一般矩阵区分） 2. 对应于不同特征值的特征向量彼此==正交==：$\alpha_1^{\rm T}\alpha_2=\alpha_2^{\rm T}\alpha_1=0$ 3. 总是存在正交矩阵 $Q$，使得 $\large Q^{\rm T}AQ=Q^{-1}AQ={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$ ——特征值对角阵 4. 两实对称矩阵合同 $\Longleftrightarrow$ 特征值的正负号个数对应相同（正负惯性指数相同） ## 对角化方法 1. 先求出 $A$ 的所有特征值 $\lambda$ 2. 再求出对应的线性无关特征向量 $\alpha$（一定有，且一共有 $n$ 个） 3. 令 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 4. 对同一个 $k$ **重特征值**对应的 $k$ 个特征向量，打包进行施密特正交化 **单根特征值直接单位化**即可，最后得到 $Q$，也是不唯一的 --- # 5 矩阵的三大变换 ## 等价

PAQ=B:\quad A\cong B

即 $A$ 经过初等变换变成 $B$，它们为同类型矩阵，不一定是方阵 ==性质==： - **等价于同一矩阵**：$A\cong B\ \Longleftrightarrow\ A\cong C,\ B\cong C$ - **转置、逆等价**：$A\cong B\ \Longleftrightarrow\ A^{\rm T}\cong B^{\rm T}\ \Longleftrightarrow\ A^{\rm -1}\cong B^{\rm -1}$ - **秩相等则等价**：$A\cong B\ \Longleftrightarrow\ r(A)=r(B)$ ## 合同 针对**同阶方阵**

A\simeq B \Longleftrightarrow A\simeq C,B\simeq C \Longleftrightarrow A^{\rm T}\simeq B^{\rm T} \Longleftrightarrow A^{\rm -1}\simeq B^{\rm -1} \Rightarrow
\begin{cases}
r(A)=r(B)\
A,B \text{ 的特征值正、负号个数相同}
\end

*——或者说正负惯性指数相同* ## 相似 针对**同阶方阵**

A\sim B \Longleftrightarrow A\sim C,B\sim C \Longleftrightarrow A^{\rm T}\sim B^{\rm T} \Longleftrightarrow A^{\rm -1}\sim B^{\rm -1} \Rightarrow
\begin{cases}
r(A)=r(B)\
\lambda_A=\lambda_B,\ \alpha_B=P^{-1}\alpha_A\
f(A)\sim f(B)
\end

## 对于实对称矩阵 1. 合同 $A\simeq B:\ C^{\rm T}AC=B\Longleftrightarrow A,B$ 特征值的正、负号个数相同——*合同变换* 2. 相似 $A\sim B:\ C^{-1}AC=B\Longleftrightarrow A,B$ 特征值相同——*线性变换/可逆变换* > [!note] 这两个特性的倒推方向是实对称阵所独有的