其他数学知识

1 数列

等差数列： $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$
等比数列： $S_{n} = {\begin{cases} n a_{1}, & q = 1 \\ \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}, & q \neq 1 \end{cases}$
平方求和： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$
列项相消： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots \frac{1}{n \times (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}$

$f (x) ⩽ g (x), \int_{a}^{b} f (x) d x ⩽ \int_{a}^{b} g (x) d x$
（含绝对值） $| \int_{a}^{b} f (x) d x | ⩽ \int_{a}^{b} | f (x) | d x (a < b)$
（积分估值定理）设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f$ (x) 在区间 $[a, b]$ 上的最大值和最小值，则：$$\m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)dx\leqslant M(b-a),\quad(a<b)$$

若 $0 < a < x < b, 0 < c < y < d$ ，则有 $$\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}$$

$\sin x < x < \tan x (0 < x < \frac{π}{2})$ ⭐
$\frac{x}{1 + x} \leq \ln (1 + x) \leq x, x \geq 0$ ⭐
- $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \leq \ln (1 + \frac{1}{x}) \leq \frac{1}{x}, x \geq 0$ ⭐
$\ln n < \sqrt{n}$

C_{m}^{n} = \frac{A_{m}^{n}}{A_{n}^{n}} = \frac{n!}{m! (n - m)!}

第一数学归纳法适合于递推式只涉及到 $a_{1}$ 和 $a_{n}$ 两项的命题，其步骤为：
（1）验证 n=1 时命题正确

举例：
设 $D_{n} = 2 a D_{n - 1} - a^{2} D_{n - 2}$ , $D_{1} = 2 a$ , $D_{2} = 3 a^{2} (a \neq 0)$ ,利用数学归纳法证明： $D_{n} = (n + 1) a^{n} .$
第二数学归纳法适合于递推式涉及到 $a_{n - 1}$ ， $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 三项的命题，其步骤为：
（1）验证 n = 1 和 n = 2 时命题正确;
当 $n = 1$ 时 $D_{1} = 2 a = (1 + 1) a^{1}$
当 $n = 2$ 时， $D_{2} = (2 + 1) a^{2}$ ,命题成立
（2）假设 n < k 时命题正确
$设 n < k 时, 有 D_{n} = (n + 1) a^{n} 成立$
（3）证明 n = k 时命题正确
则当 n = k 时， $\begin{aligned} D_{k} = 2 a D_{k - 1} - a^{2} D_{k - 2} = 2 a (k a^{k - 1}) - a^{2} [(k - 1) a^{k - 2}] \end{aligned} = (\begin{matrix} k + 1 \end{matrix}) a^{k}$
由数学归纳法可知其成立