反常积分

1 无穷区间上的反常积分

极限 $lim_{t \to + \infty} \int_{a}^{t} f (x) d x$ 存在时，称反常积分收敛，反之为发散 $$\int_a^{+\infty}, f(x) {\rm d}x = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t, f(x) {\rm d}x$$
也可以定义在负无穷区间上的反常积分： $$\int^b_{-\infty}, f(x) {\rm d}x = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b, f(x) {\rm d}x$$
正负无穷区间上的反常积分 $$\int_{-\infty}^{+\infty}, f(x) {\rm d}x = \int_{-\infty}^{0}, f(x) {\rm d}x + \int_{0}^{+\infty}, f(x) {\rm d}x$$ 两半积分都收敛，整个反常积分才收敛；反之，只要有其一发散，反常积分就发散

$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{t \to a^{+}} \int_{t}^{b} f (x) d x$
$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f (x) d x$
$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{t \to a^{+}} \int_{t}^{b} f (x) d x + lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f (x) d x$

比较判别法
设 $0 \leq f (x) \leq g (x)$ ，则有
1. 大收敛 $\to$ 小收敛
2. 小发散 $\to$ 大发散
比较判别法的极限形式
设 $f (x), g (x)$ 在区间上非负、连续，且 $lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = λ$ （有限值或者无穷）
1. $λ > 0$ 时，同敛散
2. $λ = 0$ 时，若 $\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x$ 收敛，则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 也收敛
3. $λ = + \infty$ 时，若 $\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x$ 发散，则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 也发散
$p$ 积分（常用结论，经常用 $p$ 积分做 $g (x)$ ） $$\int_a^{+\infty}, \dfrac{1}{x^p} {\rm d}x\ \begin{cases} &p>1,\ &&\text{收敛}\ \ &p\le1,\ &&\text{发散} \end{cases}$$

无穷区间上，阶数越高越收敛（或者说

f (x)

是无穷小量）

比较判别法
设 $0 \leq f (x) \leq g (x)$ ，则有
1. 大收敛 $\to$ 小收敛
2. 小发散 $\to$ 大发散
比较判别法的极限形式
设 $f (x), g (x)$ 在区间上非负、连续，且 $lim_{x \to a^{+}} \frac{f (x)}{g (x)} = λ$ （有限值或者无穷）
1. $λ > 0$ 时，同敛散
2. $λ = 0$ 时，若 $\int_{a}^{b} g (x) d x$ 收敛，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 也收敛
3. $λ = + \infty$ 时，若 $\int_{a}^{b} g (x) d x$ 发散，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 也发散
$q$ 积分（常用结论，经常用 $q$ 积分做 $g (x)$ ） $$\begin{cases} \text{瑕点为}a:\ \int_a^{b}, \dfrac{1}{(x-a)^q} {\rm d}x\ \begin{cases} &p<1,\ &&\text{收敛}\ \ &p\ge1,\ &&\text{发散} \end{cases}\ \ \text{瑕点为}b:\ \int_a^{b}, \dfrac{1}{(b-x)^q} {\rm d}x\ \begin{cases} &p<1,\ &&\text{收敛}\ \ &p\ge1,\ &&\text{发散} \end{cases} \end{cases}$$

有限区间上，阶数越低越收敛（或者说

f (x)

是无穷大量）

定义法、比较法、p/q 积分