多元函数的基本概念和理论

1 重极限

设函数 $f (x, y)$ 在区域 $D$ 上有定义
点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}) \in D$ 为 $D$ 的聚点（记得在区域 $D$ 内或其边界上就行）
若 $\forall ε > 0, \exists δ > 0$
当 $P (x, y) \in D$ 且 $0 < \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}} < δ$ 时
都有 $| f (x, y) - A | < ε$ 成立
则称常数 $A$ 为 $f (x, y)$ 当 $(x, y) \to (x_{0}, y_{0})$ 时的极限，记作： $\begin{aligned} lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y) = A \\ lim_{\begin{aligned} x \to x_{0} \\ y \to y_{0} \end{aligned}} f (x, y) = A \\ lim_{P \to P_{0}} f (P) = A \end{aligned}$

重极限的要求很高

要求点 $(x, y)$ 在 $D$ 内以任意方式趋近点 $x_{0}, y_{0})$ 时， $f (x, y)$ 都能趋于同一个常数 $A$ ；否则重极限就不存在
“任意方式”包括：直线、曲线、离散点等等

一元函数极限的下列性质对多元函数仍然成立

洛必达法则，没有被邀请

要求：会求简单重极限

常用方法：说明沿着两种不同路径得到的极限不同

通常取过点 $(x_{0}, y_{0})$ 的直线，加上不定斜率 $k$
通用方法（可秒小题）：对于极限 $lim_{\begin{array}{r} x \to x_{0} \\ y \to y_{0} \end{array}} \frac{x^{p} \cdot y^{q}}{x^{m} + y^{n}}, p, q, m, n > 0$
- $m, n$ 为奇数——极限不存在
- $m, n$ 为偶数
  - $\frac{p}{m} + \frac{q}{n} > 1$ ，则极限为 0
  - $\frac{p}{m} + \frac{q}{n} \leq 1$ ，则极限不存在，可以用路径 $y = k \cdot x^{\frac{m - p}{q}}$ 证明（这个代换的策略是：将分子 $x$ 的阶数变得和分母的一样大，方便约分剩下 $k$ ）

lim_{\begin{aligned} x \to x_{0} \\ y \to y_{0} \end{aligned}} f (x, y) = f (x_{0}, y_{0})

\begin{aligned} f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ x \to x_{0}} \frac{f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ x} = \frac{d}{d x} f (x, y_{0}) ∣_{x = x_{0}} \\ f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ y \to y_{0}} \frac{f (x_{0}, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ y} = \frac{d}{d x} f (x_{0}, y) ∣_{y = y_{0}} \end{aligned}

求偏导数基本方法——先代后求

$f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 表示曲线 $z = f (x, y_{0})$ 在点 $(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ 点处的切线对 $x$ 轴的斜率
$f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 表示曲线 $z = f (x_{0}, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ 点处的切线对 $y$ 轴的斜率

有时题目会用这样的方式表示偏导数，要反应过来

设 $z = f (x, y)$ ，则有

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = f_{x x}^{″} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x}) & \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{x y}^{″} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x}) \\ \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = f_{y x}^{″} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y}) & \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = f_{y y}^{″} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y}) \end{aligned}

也可以表示为：

f_{11}^{″}, f_{12}^{″}, f_{21}^{″}, f_{22}^{″}

可微：函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处有 $Δ z = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0}) = A Δ x + B Δ y + o (ρ)$
全微分： $d z = A Δ x + B Δ y$

由以下四条都可以得到 $f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 可微，且 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = A, f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = B$ ：

这个式子中的高阶无穷小 $o (ρ)$ 在求极限时很好用（能直接约掉），反而 $Δ z$ 部分不重要 $Δ z = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0}) = A Δ x + B Δ y + o (ρ)$
其中分子就等于 $o (ρ)$ ，分母等于 $ρ$ ： $lim_{\begin{aligned} Δ x \to 0 \\ Δ y \to 0 \end{aligned}} \frac{[f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})] - (A Δ x + B Δ y)}{\sqrt{(Δ x)^{2} - (Δ y)^{2}}} = 0$
记 $x_{0} + Δ x$ 为 $x$ ， $y_{0} + Δ y$ 为 $y$ ： $Δ z = f (x, y) - f (x_{0}, y_{0}) = A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + o (ρ)$
$lim_{\begin{aligned} Δ x \to 0 \\ Δ y \to 0 \end{aligned}} \frac{[f (x, y) - f (x_{0}, y_{0})] - [A (x - x_{0}) + B (y - y_{0})]}{\sqrt{(x - x_{0})^{2} - (y - y_{0})^{2}}} = 0$

必要条件：两一阶偏导 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 都存在
充分条件：两一阶偏导都在 $(x_{0}, y_{0})$ 连续——连续性并不好证明
用定义判定：
1. 两一阶偏导数是否都存在？
2. 极限 $lim_{\begin{aligned} Δ x \to 0 \\ Δ y \to 0 \end{aligned}} \frac{[f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})] - (f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) Δ x + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) Δ y)}{\sqrt{(Δ x)^{2} - (Δ y)^{2}}}$ 是否为 0？

若 $f (x, y)$ 可微，则 $d z = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y$