1 重极限

定义

• 设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义
• 点 $P_0(x_0,y_0)\in D$ 为 $D$ 的聚点（记得在区域 $D$ 内或其边界上就行）
• 若 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$
• 当 $P(x,y)\in D$ 且 $0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$ 时
• 都有 $|f(x,y)-A|<\epsilon$ 成立
• 则称常数 $A$ 为 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时的极限，记作：$$\begin{array}{rl}& \underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=A\\ \\ & \underset{\begin{array}{rl}& x\to x_0\\ & y\to y_0\end{array}}{lim}f(x,y)=A\\ \\ & \underset{P\to P_0}{lim}f(P)=A\end{array}$$

多元函数极限性质

一元函数极限的下列性质对多元函数仍然成立

1. 局部有界性 来支持了
2. 保号性 来支持了
3. 有理运算法则 来支持了
4. 极限和无穷小的关系 来支持了
5. 夹逼准则 来支持了

求重极限

要求：会求简单重极限

1. 利用极限性质（有理运算法则、夹逼准则）
   • 一般会取绝对值，进行放缩再用夹逼（左边一般 $0\le$）
   • 放缩技巧：只保留最低价无穷小
2. 消去分母中极限为 0 的因子（有理化、等价无穷小）
   • 等价代换如 $\sin xy\sim xy$
3. 利用“无穷小量×有界变量=无穷小量”

证明重极限不存在

常用方法：说明沿着两种不同路径得到的极限不同

• 通常取过点 $(x_0,y_0)$ 的直线，加上不定斜率 $k$
• 通用方法（可秒小题）：对于极限 $\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}{\displaystyle \frac{x^p\cdot y^q}{x^m+y^n}},p,q,m,n>0$
  • $m,n$ 为奇数——极限不存在
  • $m,n$ 为偶数
    • ${\displaystyle \frac{p}{m}}+{\displaystyle \frac{q}{n}}>1$，则极限为 0
    • ${\displaystyle \frac{p}{m}}+{\displaystyle \frac{q}{n}}\le 1$，则极限不存在，可以用路径 $y=k\cdot x^{\frac{m-p}{q}}$ 证明（这个代换的策略是：将分子 $x$ 的阶数变得和分母的一样大，方便约分剩下 $k$）

2 连续

定义

性质

1. 连续函数的和、差、积、商、复合仍连续
2. 基本初等函数在定义域内连续，初等函数在定义区间上连续
3. 有界闭区域上的连续函数：
   1. 有界性
   2. 最值性
   3. 介值性

3 偏导数

定义

几何意义

• $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 表示曲线 $z=f(x,y_0)$ 在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点处的切线对 $x$ 轴的斜率
• $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 表示曲线 $z=f(x_0,y)$ 在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点处的切线对 $y$ 轴的斜率

高阶偏导

设 $z=f(x,y)$，则有

• 如果两个混合偏导在区域 $D$ 内连续，则在 $D$ 内恒有两混合偏导相等： $$f_{xy}''=f_{yx}''$$

4 全微分

定义

• 可微：函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处有 $\mathrm{\Delta }z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )$
• 全微分：$\mathrm{d}z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$

可微的四个等价形式

由以下四条都可以得到 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，且 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=A,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=B$：

1. 这个式子中的高阶无穷小 $o(\rho )$ 在求极限时很好用（能直接约掉），反而 $\mathrm{\Delta }z$ 部分不重要$$\mathrm{\Delta }z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )$$
2. 其中分子就等于 $o(\rho )$，分母等于 $\rho$：$$\underset{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }x\to 0\\ & \mathrm{\Delta }y\to 0\end{array}}{lim}{\displaystyle \frac{[f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)]-(A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y)}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2-(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}}=0$$
3. 记 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 为 $x$，$y_0+\mathrm{\Delta }y$ 为 $y$：$$\mathrm{\Delta }z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\rho )$$
4. $$\underset{\begin{array}{rl}& x\to x_0\\ & y\to y_0\end{array}}{lim}{\displaystyle \frac{[f(x,y)-f(x_0,y_0)]-[A(x-x_0)+B(y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0{)}^2-(y-y_0{)}^2}}}=0$$

可微的判定

1. 必要条件：两一阶偏导 $f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 都存在
2. 充分条件：两一阶偏导都在 $(x_0,y_0)$ 连续——连续性并不好证明
3. 用定义判定：
   1. 两一阶偏导数是否都存在？
   2. 极限 $\underset{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }x\to 0\\ & \mathrm{\Delta }y\to 0\end{array}}{lim}{\displaystyle \frac{[f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)]-(f_x^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y)}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2-(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}}$ 是否为 0？

计算

若 $f(x,y)$ 可微，则 $\mathrm{d}z={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\mathrm{d}x+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}\mathrm{d}y$

5 多元函数连续、可导、可微的关系

• 和一元函数的情况比较，明显区别是：就算一阶偏导存在，也不能推出多元函数连续
• 多元函数的可导性结论较弱，因为多元函数的导数逼近方式是固定的，而极限存在要求的逼近方式有无数多个
• 连续不一定可微，比如 $|x|+|y|$