1 无条件极值

定义

函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，设邻域内任意点 $P(x,y)$

• 极大值：$f(x,y)\le f(x_0,y_0)$
• 极小值：$f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$

极值的必要条件

极值点处，两个一阶偏导同时为 0

极值的充分条件

$z=f(x,y)$ 有连续二阶偏导，且两一阶偏导为 0（ $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$），记 $$A=f_{xx}''(x_0,y_0),\quad B=f_{xy}''(x_0,y_0),\quad C=f_{yy}''(x_0,y_0)$$ 则有以下结论：

1. $AC-B^2>0$，则 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极值点，且有
   1. $A<0$，为极大值点
   2. $A>0$，为极小值点
2. $AC-B^2<0$，不是极值点
3. $AC-B^2=0$，不一定，要用定义判

求极值的一般步骤

1. 求出 $f(x,y)$ 的驻点 $P_1,P_2,\cdots$
2. 利用极值的充分条件判定是否为极值点

2 条件极值

拉格朗日乘数法

求 $z=f(x,y)$ 在条件 $\phi (x,y)=0$ 下的条件极值的一般方法：

1. 构造拉格朗日函数 $F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$
2. 将 $F(x,y,\lambda )$ 分别对 $x,y,\lambda$ 求偏导，构造如下方程组：$$\begin{cases} F_x'=f_x'(x,y)+\lambda\varphi_x'(x,y)=0 \ \ F_y'=f_y'(x,y)+\lambda\varphi_y'(x,y)=0 \ \ F_{\lambda}'=\varphi(x,y)=0 \end{cases}$$
3. 解出 $x,y,\lambda$，其中的 $(x,y)$ 就是在条件约束下可能的极值点

推广

对于 3 个变量、2 个约束条件，如 $u=f(x,y,z)$ 在条件 $\phi (x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$ 下的极值：

• 拉格朗日函数：$F(x,y,z,\lambda ,\mu )=f+\lambda \phi +\mu \psi$
• 求偏导，列方程组：$$\begin{cases} f_x'(x,y,z)+\lambda\varphi_x'(x,y,z)+\mu\psi_x',(x,y,z)=0 \ \ f_y'(x,y,z)+\lambda\varphi_y'(x,y,z)+\mu\psi_y',(x,y,z)=0 \ \ f_z'(x,y,z)+\lambda\varphi_z'(x,y,z)+\mu\psi_z',(x,y,z)=0 \ \ \varphi(x,y,z)=0 \ \ \psi(x,y,z)=0 \end{cases}$$

解方程组

可以用线代的线性方程组的思想，讨论 $Ax=0$ 的解：

• 首先由于此类问题的特殊性，$Ax=0$ 必有非零解
• 故 $|A|=0$，由此可得出变量之间的关系 $(x,y,z)$

1. 对于 2 变量，1 条件：$$A=\begin{bmatrix} f_x' &\varphi_x' \ f_y' &\varphi_y' \end{bmatrix} \qquad x=\begin{bmatrix} 1 \ \lambda \end{bmatrix}$$ 由 $|A|=0$，解出 $x,y$ 之间的关系，代入 $F_{\lambda }^{\prime }=0$ 求解

2. 对于 3 变量，2 条件：$$A=\begin{bmatrix} f_x'\quad &\varphi_x' &&\psi_x' \ f_y'\quad &\varphi_y' &&\psi_y' \ f_z'\quad &\varphi_z' &&\psi_z' \end{bmatrix} \qquad x=\begin{bmatrix} 1 \ \lambda \ \mu \end{bmatrix}$$ 由 $|A|=0$，解出 $x,y,z$ 之间的关系，代入 $F_{\lambda }^{\prime }=0,F_{\mu }^{\prime }=0$ 求解

3. 对于 3 变量，只有 1 个条件：列 3 个方程，会发现 $$\dfrac{f_x'}{\varphi_x'}=\dfrac{f_y'}{\varphi_y'}=\dfrac{f_z'}{\varphi_z'}$$ 代入 $F_{\lambda }^{\prime }=0$ 那一行求解

3 最大最小值

有界闭区域上的最值

1. 求 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内部可能的极值点——求驻点代入函数取值
2. 求 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 边界上的最大最小值——用拉格朗日乘数法，条件是区域边界 $\phi (x,y)=0$
3. 比较大小

应用题

1. 建立目标函数
2. 求有界闭区域上的最值