多元极值与最值

1 无条件极值

定义

函数 $z = f (x, y)$ 在点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的某邻域内有定义，设邻域内任意点 $P (x, y)$

极大值： $f (x, y) \leq f (x_{0}, y_{0})$
极小值： $f (x, y) \geq f (x_{0}, y_{0})$

极值的必要条件

极值点处，两个一阶偏导同时为 0

{\begin{cases} f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0 \\ f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0 \end{cases}

极值的充分条件

$z = f (x, y)$ 有连续二阶偏导，且两一阶偏导为 0（ $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$ ），记

A=f_{xx}''(x_0,y_0),\quad B=f_{xy}''(x_0,y_0),\quad C=f_{yy}''(x_0,y_0)$$ 则有以下结论： 1. $AC-B^2>0$，则 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极值点，且有 1) $A<0$，为极大值点 2) $A>0$，为极小值点 2. $AC-B^2<0$，不是极值点 3. $AC-B^2=0$，不一定，要用定义判 ## 求极值的一般步骤 1. 求出 $f(x,y)$ 的**驻点** $P_1,P_2,\cdots$ 2. 利用极值的充分条件判定是否为极值点 ```ad-tip title: 在偏导数不存在的点也可能取到极值，对于这种点一般用定义判定 - 一般这种点函数值为 0，可以令分别 $y=x,\ y=-x$，即考察 $f(x,x),\ f(x,-x)$ 的表达式 - 如果发现符号可变，比如 $x^3$、$x^2\ \&\ -x^2$，则**不**为极值点 - *大概这种都是无极值的吧，毕竟不可能证明所有逼近方式下都大于/小于这个点*，因此找到类似证明重极限不存在的条件就行 ``` ```ad-note title: 方程的形式给出的隐函数，最好原地求偏导 - 一阶偏导的表达式一般不用求出来，留在方程里，联立含两个偏导的方程，分别令两个偏导为0，解方程可得驻点 $(x,y,z)$ - 二阶偏导在方程组上进行，混合偏导可以对 $z_y'$ 那行方程对 $x$ 求偏导 ``` --- # 2 条件极值 ## 拉格朗日乘数法 求 $z=f(x,y)$ 在条件 $\varphi(x,y)=0$ 下的条件极值的一般方法： 1. 构造**拉格朗日函数** $\bbox[3pt,border:1px solid black]{F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)}$ 2. 将 $F(x,y,\lambda)$ 分别对 $x,y,\lambda$ 求偏导，构造如下方程组： $$\begin{cases} F_x'=f_x'(x,y)+\lambda\varphi_x'(x,y)=0 \\ \\ F_y'=f_y'(x,y)+\lambda\varphi_y'(x,y)=0 \\ \\ F_{\lambda}'=\varphi(x,y)=0 \end{cases}

解出 $x, y, λ$ ，其中的 $(x, y)$ 就是在条件约束下可能的极值点

因为是在边界上求，所以拉格朗日函数中 $f(x,y)$ 的部分可以用边界表达式化简

比如待求函数 $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 6 x - 7 y$ ，区域 $D : x^{2} + y^{2} \leq 2778$
则有边界 $x^{2} + y^{2} = 2778$
拉格朗日函数

\begin{aligned} F (x, y, λ) & = x^{2} + y^{2} - 6 x - 7 y + λ (x^{2} + y^{2} - 2778) \\ = 2778 - 6 x - 7 y + λ (x^{2} + y^{2} - 2778) \end{aligned}

推广

对于 3 个变量、2 个约束条件，如 $u = f (x, y, z)$ 在条件 $φ (x, y, z) = 0, ψ (x, y, z) = 0$ 下的极值：

拉格朗日函数： $F (x, y, z, λ, μ) = f + λ φ + μ ψ$
求偏导，列方程组： ${\begin{cases} f_{x}^{'} (x, y, z) + λ φ_{x}^{'} (x, y, z) + μ ψ_{x}^{'}, (x, y, z) = 0 \\ f_{y}^{'} (x, y, z) + λ φ_{y}^{'} (x, y, z) + μ ψ_{y}^{'}, (x, y, z) = 0 \\ f_{z}^{'} (x, y, z) + λ φ_{z}^{'} (x, y, z) + μ ψ_{z}^{'}, (x, y, z) = 0 \\ φ (x, y, z) = 0 \\ ψ (x, y, z) = 0 \end{cases}$

解方程组

可以用线代的线性方程组的思想，讨论 $A x = 0$ 的解：

首先由于此类问题的特殊性， $A x = 0$ 必有非零解
故 $| A | = 0$ ，由此可得出变量之间的关系 $(x, y, z)$

对于 2 变量，1 条件：
$A = [\begin{matrix} f_{x}^{'} & φ_{x}^{'} \\ f_{y}^{'} & φ_{y}^{'} \end{matrix}] x = [\begin{matrix} 1 \\ λ \end{matrix}] $ $ 由 $ | A | = 0 $ ，解出 $ x, y $ 之间的关系，代入 $ F_{λ}^{'} = 0 $ 求解$ $A = [\begin{matrix} f_{x}^{'} & φ_{x}^{'} & ψ_{x}^{'} \\ f_{y}^{'} & φ_{y}^{'} & ψ_{y}^{'} \\ f_{z}^{'} & φ_{z}^{'} & ψ_{z}^{'} \end{matrix}] x = [\begin{matrix} 1 \\ λ \\ μ \end{matrix}]$
由 $| A | = 0$ ，解出 $x, y, z$ 之间的关系，代入 $F_{λ}^{'} = 0, F_{μ}^{'} = 0$ 求解
对于 3 变量，只有 1 个条件：列 3 个方程，会发现
$\frac{f_{x}^{'}}{φ_{x}^{'}} = \frac{f_{y}^{'}}{φ_{y}^{'}} = \frac{f_{z}^{'}}{φ_{z}^{'}}$
代入 $F_{λ}^{'} = 0$ 那一行求解

使用行列式法要注意：

还应该令拉格朗日乘数 $λ = 0$ 看是否漏点

3 最大最小值

有界闭区域上的最值

求 $f (x, y)$ 在区域 $D$ 内部可能的极值点——求驻点代入函数取值（无需讨论是不是极值点）
求 $f (x, y)$ 在区域 $D$ 边界上的最大最小值——用拉格朗日乘数法，条件是区域边界 $φ (x, y) = 0$
比较大小

求出来的驻点可能不在区域

D

内，要代入表达式检查

化条件为无条件

如果区域表达式比较简单，比如由坐标轴和直线构成的区域，可以尝试将边界表达式直接代入待求函数——可直接得到数值或者另一个函数（此时变成无条件极值，甚至是一元函数那种无条件极值）

应用题

建立目标函数
求有界闭区域上的最值