1 几何应用

平面图形的面积

1. 直角坐标

2. 极坐标

3. 都是用二重积分算平面域的面积，根据区域 $D$ 的特点选择二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性）

空间体体积

1. 旋转体
   区域 $D$ 绕固定直线 $L:ax+by+c=0$ 旋转的体积，任取区域内一点 $(x,y)$，可定义旋转体体积微元：

   $$\mathrm{d}V=2\pi \cdot r(x,y)\$\$\mathrm{其}\mathrm{中}\$r\$\mathrm{是}\mathrm{点}\$(x,y)\$\mathrm{到}\mathrm{直}\mathrm{线}\$L\$\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}，\mathrm{即}\mathrm{公}\mathrm{式}\$r(x,y)={\displaystyle \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}\$，\mathrm{则}$$
   • 如果转轴是坐标轴：
     • $V_x=2\pi \underset{D}{\iint }y\mathrm{d}\sigma =\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$
     • $V_y=2\pi \underset{D}{\iint }x\mathrm{d}\sigma =2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x$

2. 已知横截面面积，计算体积
   已知截面面积函数 $S(x)$，则有

   $$V={\int }_a^{b}S(x)\mathrm{d}x$$

3. 弧长

   1. 直角坐标 $s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$
   2. 参数方程 $s={\int }_a^b\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$
   3. 极坐标 $s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$

4. 旋转体侧面积
   由曲线 $y=f(x)\ge 0$，直线 $x=a,x=b,(0\le a<b)$ 和 $x$ 轴所围成的区域绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积为

   $$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$$
   • 其中，$f(x)$ 是旋转半径，$\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$ 是弧微分——相当于画了无数个圆，求所有圆的周长之和

2 物理应用

1. 变力沿直线做功
   • 做功的微元：$dW=F(x)\mathrm{d}x$
2. 抽水做功
   • 设竖直向下的方向为 $x$ 轴正方向，容器口为 0，容器内液面位置为 $a$，容器底部为 $b$
   • 对于 $x$ 处微小厚度 $\mathrm{d}x$ 的一层水，抽出容器需要的高度是 $x$，液面面积为 $A(x)$，则每层液体的体积为 $\mathrm{d}V=A(x)\mathrm{d}x$
   • 每层液体的质量为 $\rho \cdot \mathrm{d}V$，所受重力 $\rho g\cdot \mathrm{d}V$
   • 故做功微元 $\mathrm{d}W=\rho gx\mathrm{d}V=\rho gxA(x)\mathrm{d}x$
3. 液体压力
   • 容器壁受到液体的压强与深度有关：$P=\rho gh$
   • 由压强公式反推压力表达式为：$F=PS$
4. 引力
   • 引力公式：$F=G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}}$
   • 题目会问运动物体间的引力做功