1 概念和几何意义

概念

• 定积分表示一个数值（跟行列式一样），取决于积分区间 $[a,b]$ 和被积函数 $f(x)$，与积分变量无关
• 可以用定积分的定义来求数列极限

几何意义

• 定义“负面积”
• 定积分的值就是曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 内图形正面积和负面积的叠加

2 可积性

必要条件

若 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界——可积一定有界

充分条件

1. 连续一定可积，但可积不一定连续
2. 有界且只有有限个间断点，可积
3. 只有有限个第一类间断点，可积

3 定积分计算

牛顿-莱布尼兹公式

换元积分法

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\phi (t)$ 满足条件：

• $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$
• $\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上具有连续导数，且值域 $R_{\phi }=[a,b]$
  则有 $$\int_a^b, f(x) {\rm d}x=\int_\alpha^\beta, f(\varphi(t))\varphi'(t) {\rm d}t$$

分部积分法

利用奇偶性和周期性

1. 关于 0 对称的区间 $$\int_{-a}^{a}, f(x) {\rm d}x= \begin{cases} & 0, &&f(x) \text{为奇函数} \ \ & 2\int_0^a, f(x) {\rm d}x, &&f(x) \text{为偶函数} \end{cases}$$

2. 周期为 $T$ 的函数有 $$\int_a^{a+T}, f(x) {\rm d}x=\int_0^T, f(x) {\rm d}x$$
   • 即，在一个周期长度上的积分是一定的

利用公式

1. 点火公式 $$\int_0^{\frac \pi 2}, \sin^nx {\rm d}x = \int_0^{\frac \pi 2}, \cos^nx {\rm d}x = \begin{cases} &\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, &&n\text{为偶数}\ \ &\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}, &&n\text{为大于1的奇数} \end{cases}$$
   • 点火顺序：（分式）下上下上，54321
   • 分子能数到 1 就是点火成功，乘一个 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$；癫火失败就不乘
   • n 为偶数，能点火成功；n 为奇数，最多数到 2

2. $\sin$ 的函数，且多了个 $x$： $$\int_0^\pi, xf(\sin x) {\rm d}x = \dfrac{\pi}{2}\int_0^\pi, f(\sin x) {\rm d}x$$
3. 利用定积分的定义（圆），要善于观察被积式
   1. $(0,0),R=a$：${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}{a}^2$
   2. 偏心圆 $(a,0)$：${\int }_0^a\sqrt{2ax-x^2}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}{a}^2$
   3. 偏心圆 $(a,0)$：${\int }_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}^2$

4 变上限积分

特点

• 变上限积分 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是一个函数，可以记作 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$
• 定理：被积函数连续，变上限积分可导 $$[\int_a^x, f(t) {\rm d}t]'=f(x)$$ 可见变上限积分是被积函数的一个原函数

求导

1. 这条最经典，熟记 $$[\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}, f(t) {\rm d}t]'=f(\psi(x))\cdot\psi'(x)-f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$$
2. 被积式是二元函数，需要对积分区间和被积式都做处理 $$[\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}, f(x,t) {\rm d}t]' = \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}, \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}+f(x,\psi(x))\cdot\psi'(x)-f(x,\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$$
3. 同样是二元函数，但是定积分，所以只需要做偏导的部分 $$[\int_{a}^{b}, f(x,t) {\rm d}t]'=\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}, \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}$$

性质

1. 连续性
   $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. 可导性
   1. $f(x)$ 连续 $⟹F(x)$ 可导，且 $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$
   2. $f(x)$ 可去 $⟹F(x)$ 可导，且 $F^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$
   3. $f(x)$ 跳跃 $⟹F(x)$ 连续不可导，且 $F_{-}^{\prime }(x_0)=f(x_0^{-}),F_{+}^{\prime }(x_0)=f(x_0^{+})$
3. 奇偶性
   1. $f(x)$ 为奇函数，则 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 为偶函数
   2. $f(x)$ 为偶函数，则 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 为奇函数

5 定积分的性质

不等式

1. 若 $f(x)\le g(x)x\in [a,b]$，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$
2. 估值性（类似介值定理） $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le M(b-a)$
3. 绝对值：$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$

积分中值定理

1. 积分中值定理： ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a),a<\xi <b$
2. 广义积分中值定理： 如果 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x)$ 不变号，则有 $$\int_a^b, f(x)g(x) {\rm d}x = f(\xi)\int_a^b, g(x) {\rm d}x,\quad a \le x \le b$$

6 积分不等式

常用方法

1. 变量代换
2. 积分中值定理
3. 变上限积分——题目出现 $f(x)$ 单调时常用
4. 柯西积分不等式

柯西积分不等式