导数

1 导数定义

下面的极限存在时，称函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 点处可导 $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ 记该极限值为 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 点处的导数，可记作 $f^{'} (x_{0})$ 或 $\frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}}$
等价形式：$$\begin{align}
f'(x_0)=&\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \
f'(x_0)=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\end{align}$$

左导数：$$f'-(x_0)=\lim{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
右导数：$$f'+(x_0)=\lim{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

可导

⟺

左右导数存在且相等

函数在某点可导，不能推导出该点周围也可导

笔记

导数存在性的推导 $$f'(x_0)\text{存在}\ \longleftrightarrows\ \lim_{\Delta\to0}\frac{f(x_0+\Delta)-f(x_0)}{\Delta}$$

$Δ$ 趋于 0 不等于 0
$Δ$ 要能取到 0 的左右两边，否则只能取到左导数或右导数

类似于“ $lim_{x \to 0} \frac{f (φ (x))}{ψ (x)} \Leftrightarrow f (x)$ 可导”的条件

$φ (x)$ 趋于 0 不等于 0，且 0 的两边极限要存在
$ψ (x), φ (x)$ 是同阶无穷小

（结论）含绝对值的函数在分界点处可导的充要条件

设 $f (x) = φ (x) | x - a |$ ， $φ (x)$ 在 $x = a$ 处连续，则有 $$f(x)\text{在}x=a\text{处可导} \Longleftrightarrow \varphi(a)=0$$

$f (x)$ 和 $| f (x) |$ 可导性之间的关系
$f (x)$ 可导 $⇎ | f (x) |$ 可导，反例 $x, | x |$
设 $f (x)$ 连续，看函数值是不是 0
- 若 $f (x_{0}) \neq 0$ ，则在 $x = x_{0}$ 处， $| f (x) | 可导 ⟺ f (x) 可导$
- 若 $f (x_{0}) = 0$ ，则在 $x = x_{0}$ 处， $| f (x) | 可导 ⟺ f^{'} (x) = 0$ ——零点处的导数为 0，加了绝对值之后才可导

2 求导公式

基本 $$\large \begin{align} &(C)'=0 &&(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} \ &(a^x)'=a^x\ln a &&(e^x)'=e^x \ &(\log_ax)'=\frac1{x\ln a} &&(\ln|x|)'=\frac1x \end{align}$$
三角函数 $$\large \begin{align} &(\sin x)'=\cos x &&(\cos x)'=-\sin x \ &(\tan x)'=\sec^2x &&(\cot x)'=-\csc^2x \ &(\sec x)'=\sec x \cdot \tan x &&(\csc x)'=-\csc x \cdot \cot x \end{align}$$
反三角函数 $$\large \begin{align} &(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &&(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ &(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2} &&({\rm arccot\ } x)'=-\dfrac{1}{1+x^2} \end{align}$$

3 求导法则

有理运算法则

$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$
$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

复合函数求导法

$u = φ (x)$ 在 $x$ 处可导， $y = f (u)$ 在对应点处可导，则复合函数 $y = f (φ (x))$ 在 $x$ 处可导，且

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

判断复合函数的可导性

设 $y = f (u), u = g (x), u_{0} = g (x_{0})$ ：

$g^{'} (x_{0}), f^{'} (u_{0})$ 都存在——则 $y = f (g (x))$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $y^{'} (x_{0}) = f^{'} (u_{0}) \cdot g^{'} (x_{0})$
其中至少一个不可导，复合函数并非不可导，要先求出 $y = y (x)$ 的表达式，再讨论

隐函数求导法

方程 $F (x, y) = 0$ 确定隐函数 $y = y (x)$ ，可在方程两边对 $x$ 求导， $y$ 的导数记作 $y^{'}$ ，解出 $y^{'}$ 即可
也可以用多元函数微分学的隐函数求导公式 $$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\frac{F'_x}{F'_y}$$

反函数的导数

设函数 $y = f (x)$ ，其反函数 $x = φ (y)$ 的导数表达式如下，可以用几何意义证明

φ^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (x)}, \frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}}

反函数的二阶导：

φ^{″} (y) = \frac{d}{d x} [\frac{1}{f^{'} (x)}] \cdot \frac{d x}{d y} = - \frac{f^{″} (x)}{[f^{'} (x)]^{2}} \cdot \frac{1}{f^{'} (x)}

- 注意 $f^{″} (x)$ 可能不存在

参数方程求导法

参数方程 ${\begin{cases} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{cases} (α < t < β)$ 确定函数 $y = y (x)$ ，则有

一阶导 $$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$
二阶导 $$\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x})\cdot\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\varphi''(t)\psi'(t)}{[\varphi'^(t)]^3}$$

对数求导法

适用： $y = y (x)$ 是由多个因式乘除、乘幂构成，或者是幂指函数
方法：两边取对数，再对 $x$ 求导

高阶导数

定义 $$f^{(n)}(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}$$
公式
1. $(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n π}{2})$
2. $(\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{n π}{2})$
3. $(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$
4. $(u v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}$ ——莱布尼兹公式，注意组合数
归纳法：先求一、二阶导 $y^{'} (x), y^{″} (x)$ ，再归纳出 n 阶导数
泰勒公式法：用带皮亚诺余项的泰勒公式可直接写到 n 阶导数

分段函数

分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求，分界点外正常