1 基本概念

• 微分方程：含未知函数导数或微分的方程
• 微分方程的阶：未知函数最高导数的阶数
• 微分方程的解：满足微分方程的函数
• 微分方程的通解：含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解
• 微分方程的特解：不含任意常数的解
• 初始条件：确定特解的一组常数
• 积分曲线：方程的一个在平面上对应一条曲线

2 一阶微分方程

1. 可分离变量
   可表示为 $g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x$ 的方程，也就是可将 $x,y$ 分离到等号两边
   求解方法：两端积分 $$\int g(y){\rm d}y=\int f(x){\rm d}x$$

2. 齐次方程
   能够化为 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=\phi ({\displaystyle \frac{y}{x}})$ 的微分方程
   求解方法：令 $u={\displaystyle \frac{y}{x}}$，则有 $y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$，原方程可化为 $x{u}^{\prime }=\phi (u)-u$，变成可分离变量的微分方程

3. 线性方程
   一阶线性微分方程：$y^{\prime }+p(x)y=Q(x)$
   求解方法：常数变易法，或者用公式（就是用常数变易法得到的） $$y=e^{-\int p(x){\rm d}x}[\int Q(x)\cdot e^{\int p(x){\rm d}x}{\rm d}x+C]$$

4. 伯努利方程（数一）
   $y^{\prime }+p(x)y=Q(x)y^n$，比一阶线性方程多一个 $y^n$
   解法：令 $u=y^{1-n}$，化为一阶方程

5. 全微分方程（数一）

3 可降阶的高阶方程

1. $y^{(n)}=f(x)$
   连续积分，注意每积一次都会多出来一个常数 $C_i$
2. $y^{″}=f(x,y^{\prime })$ ——不含 $y$
   令 $y^{\prime }=p,y^{″}=p^{\prime }$，可将原方程化为一阶方程
3. $y^{″}=f(y,y^{\prime })$ ——不含 $x$
   令 $y^{\prime }=p,y^{″}=p{\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}}$，化为一阶方程：${\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}}=f(y,p)$

4 高阶线性微分方程

解的结构

• 主要讨论二阶线性微分方程：
  • 齐次方程：$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$
  • 非齐次方程：$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$
• 齐次方程的通解：$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$
  • 要求：$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性无关，即它们之比不是常数
• 非齐次方程的通解：$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }(x)$
  • 齐次通解+非齐次特解
• 齐次解和非齐次解的关系：非齐次方程的两个特解 $y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$ 相减是齐次方程的一个解 $y(x)=y_1^{\ast }(x)-y_2^{\ast }(x)$
• 非齐次特解的性质：如果 $y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$ 分别是下面两个非齐次方程的特解，则有 $$\begin{align} y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)\ y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x) \end{align}$$
  • $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 是 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$ 的一个特解
  • 假设 $f_1(x)=f_2(x)=f(x)$，则 $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 是 $\cdots =2f(x)$ 的一个特解；${\displaystyle \frac{y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)}{2}}$ 是 $\cdots =f(x)$ 的一个特解

常系数齐次线性方程

• 一般形式：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$
• 特征方程：$r^2+pr+q=0$，它的两个根 $r_1{r}_2$ 是方程的两个特征根

通解

通解的情况取决于特征方程

1. 特征根不相同 $r_1\ne r_2$ 时 $$\bbox[6pt,border:1px solid black]{y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}}$$
2. 重根的情况 $r_1=r_2$ $$\bbox[6pt,border:1px solid black]{y=(C_1+C_2x)e^{rx}}$$
3. 共轭复根的情况 $r_1,r_2=\alpha \pm i\beta$ $$\bbox[6pt,border:1px solid black]{y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x)}$$

常系数非齐次线性方程

• 一般形式：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

特解

特解的情况取决于 $f(x)$ 和特征根

1. （只含多项式）若 $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$，特解可设为 $$\bbox[6pt,border:1px solid black]{y^*=x^k \cdot Q_m(x) \cdot e^{\lambda x}}$$
   其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的多项式，$k$ 是特征根 $r_i=\lambda$ 的个数，可能有 $k=0$

2. （含三角函数）若 $f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$，特解可设为 $$\bbox[6pt,border:1px solid black]{y^*=x^k \cdot e^{\alpha x}[R_o^{(1)}(x)\cos{\beta x}+R_o^{(2)}(x)\sin{\beta x}]}$$
   其中 $R_o^{(1)}(x),R_o^{(2)}(x)$ 是两个 $o$ 次多项式，上标是序号，$o=max(m,n)$
   $k$ 与特征根有关：

   • $\alpha +i\beta$ 是原方程的特征根时，$k=1$
   • $\alpha +i\beta$ 不是原方程的特征根时，$k=0$

欧拉方程（数一）

令 $x=e^t$，则 $t=\ln x,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}$（$x<0$ 时可令 $x=-e^t$）,于是有 $$\begin{align} &\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}t}\cdot\dfrac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac1x\cdot\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}t}\ \ &\dfrac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}= \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x})=\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x})\cdot\dfrac{{\rm d}t}{{\rm d}x} \end{align}$$
把关于 $x$ 的方程换成关于 $t$ 的方程就行，注意最后再变换回 $x$