特征值与特征向量基础

1 基础知识

设 $n$ 阶方阵 $A_{n \times n}$ ，如果有向量 $α_{n \times 1} \neq 0$ 使得

\large A\alpha=\lambda\alpha$$ 则称 $\lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，$\alpha$ 是 $\lambda$ 对应的一个特征向量 - 特征值、特征向量的概念只针对==方阵== - 特征向量**不能**为 $\bf 0$，特征值**可能**为 $0$ ## 求特征值与特征向量的方法 基准：$(A-\lambda E)\alpha=0$ 1. 由行列式 $|\lambda E-A|=0$，解出 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，算上重根一共有 $n$ 个特征值 2. 代入 $\lambda_i$，解方程组 $(\lambda_i E-A)x=0$，其所有的非零解即为特征向量（==一般取基础解系==） - 三角阵、对角阵的特征值为其对角线上的元素 - $O$ 矩阵的特征值全为 $0$，特征向量为所有非零向量 ## 3阶矩阵快速求特征值 1. $r(A)=1$，即 $A=\alpha\beta^{\rm T}$ 时 矩阵 $A$ 有两个特征值为 $0$，剩下一个 $\lambda=tr(A)=\alpha^{\rm T}\beta=\beta^{\rm T}\alpha$ > [!note] 多项式矩阵 > - 有时类似 $A+E$ 这样的矩阵才能凑出 $r(A+E)=1$，可以算 $A+E$ 的特征值，再 -1 得 $A$ 的特征值 2. $r(A)=2$，代公式 由三阶方阵的性质 $|\lambda E-A|=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+(A_{11}+A_{22}+A_{33})\lambda-|A|$ ，且由于 $r(A)=2<3$，会有一个特征值为 0，且 $|A|=0$ 故有： $$\large\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+(M_{11}+M_{22}+M_{33})\lambda=0

系数分别是 $A$ 的一阶主子式（主对角线元素）之和，与二阶主子式之和
- 代入方程求出 3 个特征值即可

（背） $n$ 阶方阵 $A$ 的特征值（算上重根）一共有 $n$ 个，它们的和等于 $A$ 的对角线元素之和，记作“迹” $t r (A)$ ，所有特征值之积等于 $| A |$
- ⚡ $A$ 的所有特征值 $λ_{A} \neq 0 \Leftrightarrow | A | \neq 0 \Leftrightarrow A$ 可逆 $\Leftrightarrow r (A) = n$
- $A$ 至少有一个特征值 $λ_{A} = 0 \Leftrightarrow | A | = 0 \Leftrightarrow A$ 不可逆 $\Leftrightarrow r (A) < n$
$n$ 阶方阵 $A$ ，若 $A α = λ α (α \neq 0)$ ，则必有多项式矩阵=特征值矩阵 $f (A) α = f (λ) α$
即
$A α = λ α \Rightarrow f (A) α = f (λ) α = (a_{k} λ^{k} + a_{k - 1} λ^{k - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0}) α$
- 若 $A$ 可逆，则有： $A α = λ α \Leftrightarrow A^{- 1} α = \frac{1}{λ} α, f (A^{- 1}) α = f (λ^{- 1}) α$
- $A$ 和其转置 $A^{T}$ 的特征值相同，特征向量不一定
- 若 $f (A) = O$ ，则 $f (λ) = 0$ ，可以计算出特征值可能的值，但不能确定重数（定义法可以）
设任意 $k$ 重特征值对应的线性无关的特征向量个数为 $N$ ，则有： $1 \leq N \leq k$
- $1$ 重特征值可对应 $1$ 个线性无关特征向量
- 即对应的方程组 $(λ_{1} E - A) x = 0$ 的基础解系由 $1$ 个向量构成
不同特征值对应的特征向量之间线性无关
若 $A, B$ 是同阶方阵，则 $A B$ 与 $B A$ 具有相同的特征值： $λ_{A B} = λ_{B A}$