1 初等变换

初等行/列变换

1. 用非零常数 $k$ 乘以矩阵的某一行（列）
2. 互换矩阵某两行（列）的位置
3. 将某行（列）的 $k$ 倍加至另外一行（列）

初等矩阵

初等矩阵是对单位阵做相应的初等变换得到的：

以上矩阵表示第 $1,2$ 两行互换（或两列）

三种初等变换对应三种初等矩阵：

1. $E_i(k)$ ——第 $i$ 行乘以 $k$（或第 $i$ 列）
2. $E_{i,j}$ ——第 $i$ 和第 $j$ 行互换（或者列）
3. $E_{ij}(k)$ ——第 $i$ 行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行，或第 $j$ 列的 $k$ 倍加到第 $i$ 列

矩阵等价

$A\cong B\iff$ 存在可逆矩阵 $P,Q$，使得 $PAQ=B$

2 矩阵的秩

概念

1. $k$ 阶子式：任取 $k$ 行、$k$ 列，行线和列线交叉处的元素形成的 $k$ 阶方阵的行列式

2. 秩(Order)：至少有一个 $k$ 阶子式不为 0，高于 $k$ 阶的行列式全为 0，则该矩阵的秩为 $k$ ，记作 $r(A)=k$ 或 $R(A)=k$

结论

1. 矩阵 $A_{m\times n}$，其秩 $\ge 0$，但小于等于行数 $m$ 和列数 $n$ 的任何一个，即 $0\le r(A)\le min(m,n)$
2. 只要 $A_{m\times n}$ 中有任何一个 k 阶子式不为 0，则有 $r(A)\ge K$
   只有 $O$ 的秩为 0
3. 行阶梯形矩阵的秩 = 非零行数
4. 初等变换不改变矩阵的秩

求秩的方法

⚡做初等变换，化为行阶梯形

性质

1. 和矩阵的秩不超过各自秩的和：$r(A\pm B)\le r(A)+r(B)$
2. 乘积的秩不超过它们任何一个的秩：$r(AB)\le min\{r(A),r(B)\}$
   • 且当 $A_{m\times n}$ 列满秩 $r(A)=n$ 时，$r(AB)=r(B)$
   • 当 $B_{n\times s}$ 行满秩 $r(B)=n$ 时，$r(AB)=r(A)$
3. 转置后秩不变：$r(A^T)=r(A)=r(A^{T}A)$
4. 做行或列连接后，秩不超过各自秩的和：$$\begin{align} \max{ r(A),r(B) }\le r(A,B)\le r(A)+r(B)\ \ \max{ r(A),r(B) }\le r\begin{pmatrix} A\B \end{pmatrix}\le r(A)+r(B) \end{align}$$
   • 注意 $r(A,B)$ 不一定等于 $r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$
5. 若 $A_{m\times n}\times B_{n\times s}=O$，则 $r(A_{m\times n})+r(B_{n\times s})\le n$
   • 两个矩阵的秩、甚至是秩的和不超过中间消失的 $n$