矩阵的相似和对角化

1 相似

定义

设有 $n$ 阶矩阵 $A, B$ ，存在可逆矩阵 $P$ ，使得

\large P^{-1}AP=B$$ 则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$ ## 性质 1. 相似于同一个矩阵：若 $A\sim B\ \Leftrightarrow\ A\sim C$，则 $B\sim C$ 2. 转置相似：$A\sim B\ \Leftrightarrow\ A^{\rm T}\sim B^{\rm T}$ 3. 逆相似：$A\sim B\ \Leftrightarrow\ A^{-1}\sim B^{-1}$ 4. 相似的必要条件： 1) 特征值相同：$A\sim B\ \Leftrightarrow\ \lambda_A=\lambda_B$，且 $\alpha_B=P^{-1}\alpha_A$ 2) 矩阵多项式相似 $A\sim B\ \Leftrightarrow\ f(A)\sim f(B)$ 3) 其他性质见图 ## 判断两个方阵是否相似的方法 1. 用相似矩阵的必要条件排除 2. 利用对角阵作为媒介：即两个矩阵相似于同一个对角阵 3. 利用相似的定义： $P^{-1}AP=B$ --- # 2 对角化 ## 定义 $A$ 与对角阵 $\Lambda$ 相似，则称 $A$ 可对角化，即 $$\large P^{-1}AP=\Lambda

对角化的好处：
- $A$ 的特征值和秩可以从 $Λ$ 中看出， $λ$ 为 $Λ$ 对角线元素， $r (A) = r (Λ) = n$
- 还可以反过来求 $A, A^{n}$ 与 $f (A)$ ： $f (A) \sim f (Λ) \to f (A) = P^{- 1} f (Λ) P$

充要条件

A 可 对 角 化 \Leftrightarrow A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 \Leftrightarrow A 的 每 个 k 重 特 征 向 量 都 对 应 有 k 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量

如果 $A$ 的特征值均为 $1$ 重（无重根），则 $A$ 可对角化

判断是否可对角化，并求矩阵 P

求 $A$ 的所有特征值
求对应特征向量，看看是否有 $n$ 个线性无关的
- 若有，进行下一步
- 没有，则不可对角化，下结论后结束
将特征向量排好，得到 $P = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ ，必有 $P^{- 1} A P = Λ$
- $P$ 不是唯一的， $Λ$ 也不是唯一的

结论性例题

幂等矩阵 $A^{2} = A$ 一定可以对角化