1 相似

定义

设有 $n$ 阶矩阵 $A,B$，存在可逆矩阵 $P$，使得

则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$

性质

1. 相似于同一个矩阵：若 $A\sim B\iff A\sim C$，则 $B\sim C$
2. 转置相似：$A\sim B\iff A^{\mathrm{T}}\sim B^{\mathrm{T}}$
3. 逆相似：$A\sim B\iff A^{-1}\sim B^{-1}$
4. 相似的必要条件：
   1. 特征值相同：$A\sim B\Rightarrow {\lambda }_A={\lambda }_B$，且 ${\alpha }_B=P^{-1}{\alpha }_A$
   2. 矩阵多项式相似 $A\sim B\Rightarrow f(A)\sim f(B)$

判断两个方阵是否相似的方法

1. 用相似矩阵的必要条件排除
2. 利用对角阵作为媒介：即两个矩阵相似于同一个对角阵
3. 利用相似的定义： $P^{-1}AP=B$

2 对角化

定义

$A$ 与对角阵 $\mathrm{\Lambda }$ 相似，则称 $A$ 可对角化，即

• 对角化的好处：
  • $A$ 的特征值和秩可以从 $\mathrm{\Lambda }$ 中看出，$\lambda$ 为 $\mathrm{\Lambda }$ 对角线元素，$r(A)=r(\mathrm{\Lambda })=n$
  • 还可以反过来求 $A,A^n$ 与 $f(A)$：$f(A)\sim f(\mathrm{\Lambda })\to f(A)=P^{-1}f(\mathrm{\Lambda })P$

充要条件

• 如果 $A$ 的特征值均为 $1$ 重（无重根），则 $A$ 可对角化

判断是否可对角化，并求矩阵 P

1. 求 $A$ 的所有特征值
2. 求对应特征向量，看看是否有 $n$ 个线性无关的
   • 若有，进行下一步
   • 没有，则不可对角化，下结论后结束
3. 将特征向量排好，得到 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$，必有 $P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$
   • $P$ 不是唯一的，$\mathrm{\Lambda }$ 也不是唯一的

结论性例题

• 幂等矩阵 $A^2=A$ 一定可以对角化