线性方程组基础

1 线性方程组相关概念

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{cases}

以上为 $n$ 个未知数、 $m$ 个方程的非齐次线性方程组，如果常数项 $b_{1} = b_{2} = \dots = b_{m} = 0$ ，即等号右边全为 0，则成为齐次线性方程组

系数矩阵：未知数的系数构成的矩阵 $$A=\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\ \vdots &\vdots &\ &\vdots\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}$$
增广矩阵：系数矩阵最右边再加一列常数 $$\bar{A}=\left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} &b_1 \ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} &b_2 \ \vdots &\vdots &\ &\vdots &\vdots \ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} &b_m\end{array}\right]$$
用矩阵表示线性方程组为 $$A{\bf x=b}\ \Leftrightarrow\ x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta$$ 其中 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}, b = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m})^{T}$

r (\bar{A}) = r (\begin{array}{cc} A_{m \times n} & b \end{array}) = {\begin{cases} r (A) \Leftrightarrow 有解，且 {\begin{cases} r (A) = n, & 唯一解 \\ r (A) < n, & 无穷多解 \end{cases} \\ r (A) + 1 \Leftrightarrow 无解 \end{cases}

结论

{\begin{cases} r (A) = n \Leftrightarrow 唯一零解 \\ r (A) < n \Leftrightarrow 无穷多解，即“有非零解” \end{cases}

⚡初等行变换化为阶梯形，分析其秩