1 证明向量组是齐次方程组的基础解系

证明向量组 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 是方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系：

1. 验证每一个向量都有 $A{\eta }_i=0$
2. 证明向量组线性无关
3. 用向量个数定理 $n-r(A)$，说明向量组大小和方程组解空间的大小一致

2 齐次方程组的行向量

齐次方程组 $A_{m\times n}x=0$ 的解 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 是与系数阵 $A$ 的所有行向量都正交的向量
即：若 $A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\mathrm{T}}\\ {\alpha }_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\alpha }_m^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$，则有 $$\alpha_i^{\rm T}x=0$$

3 矩阵方程组

对于 $AB=C$ ，特别是 $AB=O$，可以将 $B,C$ 进行列分块，就可以利用方程组的结论

• 例如证明：若 $A_{m\times n}\times B_{n\times s}=O$，则 $r(A)+r(B)\le n$
  • 对 $B$ 进行列分块，即 $B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$
  • 则有 $AB=A({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=O$，即向量组 $({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$ 是方程组 $Ax=0$ 解空间的一部分
  • 故 $r(B)\le n-r(A)$，即 $r(A)+r(B)\le n$

4 公共解问题

1. 联立而成的新方程组的解

   • 条件：两个方程组必须已知，要完整地给出
   • 方法：联立

2. 其中一个方程组的通解满足另一个方程组的部分

   • 条件：至少有 1 个方程是具体的
   • 方法：求通解，代入具体的那个方程组，解出通解的系数 $c$

3. 能够同时写成两个方程组通解形式的向量

   • 即给两个基础解系，求这两个方程组的公共解
   • 方法：先写出两个通解形式，设它们同时等于向量 $\gamma$，作差得一个以通解系数为未知变量的齐次方程组

5 同解问题

同解问题的分析方向：

1. 分析解：即方程组解相同，相互代入都能满足

2. 分析系数阵（增广矩阵）

   • 齐次方程组 $Ax=0$ 的解均为 $Bx=0$ 的解 $\iff$ $B$ 的行向量能被 $A$ 的行向量线性表示（推广到非齐次方程组就是增广矩阵的行向量）
   • 推论：两方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解 $\iff$ 系数阵 $A,B$ 或增广矩阵行向量组等价

6 几何应用

1. 平面上的 2 条直线的关系 $L_1:a_{1}x+b_{1}y=c_1,L_2:a_{2}x+b_{2}y=c_2$
   • 联立这两条直线的方程，可得到一个非齐次方程组
   • 讨论这个方程组解的情况就能知道直线的关系：
     1. 是否有交点——有公共解
     2. 是否平行——方向向量 $(a_1,b_1),(a_2,b_2)$ 是否成比例，即无解