1 线性组合

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 都是 $m$ 维向量（组成向量组），$k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 是任意一组实数，则

为向量组的一个线性组合，也是一个 $m$ 维向量

• 线性表示：存在一组实数能使得 $\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n$，则称 $\beta$ 能被向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表示

2 线性相关

定义

设 $m$ 维列向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$

• 线性相关：存在不全为 0 的实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$，使得 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n=0$
• 线性无关：只有当 $k_1=k_2=\cdots =k_n=0$ 时上式才能够成立，则为线性无关

结论

1. 含零向量的向量组一定线性相关
2. 拼接起来形成阶梯形、“错开”的向量组线性无关
3. 对于单个向量 $\alpha$ 来说，线性无关 $\iff \alpha \ne 0$
   对于两个向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 来说，线性相关 $\iff {\alpha }_1=k{\alpha }_2$，即对应成比例

3 向量组重要定理

1. 部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关；整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关 ——针对向量的个数

2. 本体无关 $\Rightarrow$ 加长无关；本体相关 $\Rightarrow$ 缩短相关 ——针对向量的维度

3. 向量组线性相关 $\iff$ 向量组中至少有 1 个向量能被同组的其他向量线性表示
   向量组线性无关 $\iff$ 向量组中所有向量都不能被同组的其他向量线性表示

4. 初等行变换不改变列向量间的关系；初等列变换不改变行向量间的关系

5. 如果 $\beta$ 能够被向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表示，则有：
   ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关 $\iff$ 表示方式无穷多
   ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关 $\iff$ 表示方式唯一

讨论向量组线性相关的方法

1. 根据向量组中向量数 $s$ 和维数 $n$，判别线性相关
   $n$ 维向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$，则：

   • $s>n$ 时，必线性相关
   • $s=n$ 时，行列式 $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s|=0$
   • $s<n$ 时，行列式 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)<s$

2. 利用方程组

   $$\text{列}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{组}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s\text{线}\mathrm{性}\mathrm{相}\mathrm{关}\iff \text{方}\mathrm{程}\mathrm{组}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_s\end{array}\right)=0\text{有}\mathrm{非}\mathrm{零}\mathrm{解}$$

   线性无关时只有零解

3. 证明线性无关的常用手法

   • 定义法：令 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$，将其进行变形，证明只有 $k_1=k_2=\cdots =k_s=0$ 满足
   • 利用行列式、秩
   • 反证法